蒙特卡罗方法初步—椭圆内均匀分布的抽样技巧q一l1996年12爆轰波与冲击波第4期蒙特卡罗方法初步——椭圆内均匀分布的抽样技巧胡熙静刘桂贤-—,———～A耍以简明通俗的语言.避开统计学中抽象的数学公式和符号,介绍了作为计算数学一十独立分支的蘩特卡罗方法的基本思想和概念,奠特卡罗方法在粒子{宣运问题中的应用以爰蒙特卡罗(MonteCarlo)是意大利的一个城市名,以赌博闻名于世界,可以想象,蒙特卡罗与赌博有某种相似之处.没有接触过蒙特卡罗方法的人,对它有一种神秘感,其实它的基本思想并不新颖.早在十七世纪,人们就知道用频数来决定概率的方法.随着现代科学技术的发展和电子计算机的发明,应用愈来愈广,方法本身也得到不断的发展和完善.成为计算数学的一个独立分支.蒙特卡罗方法又称随机抽样技巧或统计试验方法.本文的目的是一般介绍蒙特卡罗方法的重要概念,基本思想,在粒子输运问题中的应用,常见的几种抽佯方法.最后,我们介绍在椭圆内均匀分布的一种效率较高的抽样技巧.2蒙特卡罗方法的基本思想i,,』蒙特卡罗方法的基本思想是,把所要求解的问题转换成某种事件出现的概率,然后通过对事件的模拟”试验”得到该事件出现的频率,并以此近似代替该事件出现的概率,从而获得问题的解.用统计学的语言来表述就是,把所求问题转换成某个随机变量的期望值,通过模拟”试验的方法,获得这个随机变量的平均值.有一个大家都熟悉的饲子,一批产品的质量好坏用合格率来表示.合格率P兰n/Ⅳ,其中Ⅳ为随意确定的抽样数,n为合格数,近似号表示Ⅳ不可能等于全部产品数.这里把求解的问题(产品质量),转换为概率(合格率),通过抽样捡验的方法,求得-/Ⅳ作为合格率的近似值.再举一个例子:实验确定圆周率.设想地面上有一组平行直线,相距为.手里拿一根长为2f的针(<a),作Ⅳ次任意的投针试验,与平行线相交者记为1,否则记为0.这样得到针与平行线的相交概率P:/Ⅳ.从统计学的观点可以证明Ⅲ此概率的正确结果为21/~a甩P近似代替正确概率2Z/~a,就得到的值为Ⅱ兰(2~/a)(Ⅳ)这就是古典概率论中着名的蒲丰氏问题.可以把蒙特卡罗方法归结为三个主要步骤:构造所求问题的概率;实现从已知分布中抽样;建立估计量.在上述的蒲丰氏问题中就是把求的问题转换为投针相交率,进行投爆轰波与冲击波1995年12月针试验(抽样),求得相交概率的估计量.现在当然不会有人真正做这种费事的投针试验.在计算机上可以用蒙特卡罗方法进行模拟,做到投针次数雎非常大,就获得非常精确的Ⅱ值..上述的例子属于本来不是随机性质的确定性闻蘧.这类伺题酌例子还有计算定积分,解线性方程组,偏微分方程的边值问题等.这类问题用蒙特卡罗方法时须要事先构造一个人为的概率过程.即将不具有随机性质的问题转换为随机性质的问题,使它的某些参量正好是所要求的同题的解.由于这类问题往往有其它方便的计算方法求解.蒙特卡罗方法使用不多.实际问题中有一类本身具有随机性质,如粒子输运伺题.蒙特卡罗方法的主要任务是正确地模拟这个随机过程.随着计算机技术的飞速发展,在粒子输运领域内,蒙特卡罗方法得到广泛的应用.’3粒子输运问题在反应堆设计,核物理实验,辐射(中子或光子)屏蔽,皂子与物质相互作用问题中,都_’●涉及大量的中子,光子,电子的输运问题.这是蒙特卡罗方法应用的主要领域.粒子在介质中的作用过程本身具有随机性质.一个由源发出的粒子,在它的运动方向上,在啷一点碰撞是偶然的,但有一定的概率分布I与原子(或康子核)发生碰撞又有各种概率不同的碰撞类型涠撞后的能量和运动方向,遵从一定的概率分布.粒子可能被介质吸收或从系统中逃脱,这时粒子运动过程结束,否则继续下一次类似的运动.一个粒子在介质中的运动情况,可由它所经历的碰撞反映出来.所以只要粒子与原子或核的碰撞规律在物理上是清楚的,那么这种过程完全能够用蒙特卡罗方法正确地模拟,然后对所求的物理量进行统计平均,就求得问题的解.例如对于屏蔽问题,把模拟粒子数记为Ⅳ,穿透屏蔽层的粒子效记为n,则穿透率P兰/Ⅳ.蒙特卡罗方法计算粒子输运问题的大致步骤如图1所示.图t中:源分布抽样包括源粒子能量,位置,发射方向的抽样;碰撞过程需根据具体同题的实际过程来进行;历史终止包括粒子被吸收,从系统逃脱,能量或权重下降到某一规定的最小值等等;统计处理表示对该计算所