第一章蒙特卡罗方法概述蒙特卡罗方法的基本思想例1.蒲丰氏问题一些人进行了实验，其结果列于下表：例2.射击问题（打靶游戏）现假设该运动员进行了Ｎ次射击，每次射击的弹着点依次为r1，r2，…，rN，则Ｎ次得分g(r1)，g(r2)，…，g(rN)的算术平均值代表了该运动员的成绩。换言之，为积分<g>的估计值，或近似值。在该例中，用Ｎ次试验所得成绩的算术平均值作为数学期望<g>的估计值（积分近似值）。基本思想因此，可以通俗地说，蒙特卡罗方法是用随机试验的方法计算积分，即将所要计算的积分看作服从某种分布密度函数f(r)的随机变量ｇ(r)的数学期望通过某种试验，得到Ｎ个观察值r1，r2，…，rN（用概率语言来说，从分布密度函数f(r)中抽取Ｎ个子样r1，r2，…，rN，），将相应的Ｎ个随机变量的值g(r1)，g(r2)，…，g(rN)的算术平均值作为积分的估计值（近似值）。为了得到具有一定精确度的近似解，所需试验的次数是很多的，通过人工方法作大量的试验相当困难，甚至是不可能的。因此，蒙特卡罗方法的基本思想虽然早已被人们提出，却很少被使用。本世纪四十年代以来，由于电子计算机的出现，使得人们可以通过电子计算机来模拟随机试验过程，把巨大数目的随机试验交由计算机完成，使得蒙特卡罗方法得以广泛地应用，在现代化的科学技术中发挥应有的作用。计算机模拟试验过程例１．蒲丰氏问题如何产生任意的（x,θ）？x在［0，a］上任意取值，表示x在［0，a］上是均匀分布的，其分布密度函数为：类似地，θ的分布密度函数为：因此，产生任意的（x,θ）的过程就变成了由f1(x)抽样x及由f2(θ)抽样θ的过程了。由此得到：其中ξ1，ξ2均为（0,1）上均匀分布的随机变量。每次投针试验，实际上变成在计算机上从两个均匀分布的随机变量中抽样得到（x,θ），然后定义描述针与平行线相交状况的随机变量s(x,θ)，为如果投针Ｎ次，则是针与平行线相交概率Ｐ的估计值。事实上，于是有例２．射击问题蒙特卡罗方法的收敛性，误差收敛性误差当N充分大时，有如下的近似式其中α称为置信度，1－α称为置信水平。这表明，不等式近似地以概率1－α成立，且误差收敛速度的阶为。通常，蒙特卡罗方法的误差ε定义为上式中与置信度α是一一对应的，根据问题的要求确定出置信水平后，查标准正态分布表，就可以确定出。下面给出几个常用的α与的数值：关于蒙特卡罗方法的误差需说明两点：第一，蒙特卡罗方法的误差为概率误差，这与其他数值计算方法是有区别的。第二，误差中的均方差σ是未知的，必须使用其估计值来代替，在计算所求量的同时，可计算出。减小方差的各种技巧效率蒙特卡罗方法的特点能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程受几何条件限制小收敛速度与问题的维数无关具有同时计算多个方案与多个未知量的能力误差容易确定程序结构简单，易于实现收敛速度慢误差具有概率性在粒子输运问题中，计算结果与系统大小有关蒙特卡罗方法的主要应用范围作业