2015届高三湖北高考压轴题训练系列之放缩法证明不等式考情分析：参考2010至2013年湖北理科数学卷，不难发现湖北理科数学的压轴题都是以不等式的证明为中心的，方法有：积分界限放缩，函数放缩法，琴生不等式法，数学归纳法等等。故2015年湖北高考理科数学极有可能会以不等式的证明作为压轴大题。方法一：琴生不等式1.（2012年湖北卷理科数学）(本小题满分14分)（I）已知函数f（x）=rx-xr+（1-r）（x>0），其中r为有理数，且0<r<1.求f（x）的最小值；（II）试用（I）的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。注：当α为正有理数时，有求导公式(xα）/=αxα-1题后感：熟悉竞赛的同学和老师看到此题会立马想到琴生不等式，那下面就介绍一下琴生不等式。一、知识要点：1．琴生不等式凸函数的定义：设连续函数的定义域为，对于区间内任意两点，都有，则称为上的下凸（凸）函数；反之，若有，则称为上的上凸（凹）函数。琴生(Jensen)不等式（1905年提出）：若为上的下凸（凸）函数，则（想象边形的重心在图象的上方，个点重合时“边形”的重心在图象上）琴生(Jensen)不等式证明：1）时，由下凸（凸）函数性质知结论成立；2）假设时命题成立，即那么当时，设，所以所以，得证2．加权平均琴生(Jensen)不等式：若为上的下凸（凸）函数，且，则3．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数，（1）如果对任意x∈I,，则曲线y=f(x)在I内是下凸的；（2）如果对任意x∈I,，则y=f(x)在I内是上凸的。4．幂平均不等式：若，且，，则．由上可以看出此类题的证明方法是数学归纳法。体会与训练1．武汉市2014届高三11月调研测试（本小题满分14分）已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且对任意x＞0，都有f′(x)＞eq\f(f(x),x)．（Ⅰ）判断函数F(x)＝eq\f(f(x),x)在(0，＋∞)上的单调性；（Ⅱ）设x1，x2∈(0，＋∞)，证明：f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)；（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．1．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）对F(x)求导数，得F′(x)＝eq\f(xf′(x)－f(x),x2)．∵f′(x)＞eq\f(f(x),x)，x＞0，∴xf′(x)＞f(x)，即xf′(x)－f(x)＞0，∴F′(x)＞0．故F(x)＝eq\f(f(x),x)在(0，＋∞)上是增函数．……………………………………………4分（Ⅱ）∵x1＞0，x2＞0，∴0＜x1＜x1＋x2．由（Ⅰ），知F(x)＝eq\f(f(x),x)在(0，＋∞)上是增函数，∴F(x1)＜F(x1＋x2)，即eq\f(f(x1),x1)＜eq\f(f(x1＋x2),x1＋x2)．∵x1＞0，∴f(x1)＜eq\f(x1,x1＋x2)f(x1＋x2)．同理可得f(x2)＜eq\f(x2,x1＋x2)f(x1＋x2)．以上两式相加，得f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)．………………………………………8分（Ⅲ）（Ⅱ）中结论的推广形式为：设x1，x2，…，xn∈(0，＋∞)，其中n≥2，则f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)．∵x1＞0，x2＞0，…，xn＞0，∴0＜x1＜x1＋x2＋…＋xn．由（Ⅰ），知F(x)＝eq\f(f(x),x)在(0，＋∞)上是增函数，∴F(x1)＜F(x1＋x2＋…＋xn)，即eq\f(f(x1),x1)＜eq\f(f(x1＋x2＋…＋xn),x1＋x2＋…＋xn)．∵x1＞0，∴f(x1)＜eq\f(x1,x1＋x2＋…＋xn)f(x1＋x2＋…＋xn)．同理可得f(x2)＜eq\f(x2,x1＋x2＋…＋xn)f(x1＋x2＋…＋xn)，f(x3)＜eq\f(x3,x1＋x2＋…＋xn)f(x1＋x2＋…＋xn)，……f(xn)＜eq\f(xn,x1＋x2＋…＋xn)f(x1＋x2＋…＋xn)．以上n个不等式相加，得f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)．………14分2.湖北省部分重点中学2014届高三第一次联考(本小题满分14分)已知函数，当时，函数取得极大值.（1）求实数的值；[来源:学+科+网Z+X+X+K