第十二章相关回归分析市场预测法【教学目的】掌握一元线性回归预测的基本思想、一元线性回归预测模型的建立方法和模型的检验。能够运用一元线性回归预测法进行市场预测。事物的发展变化都是相互联系、相互依存的，预测对象的变化往往是由于影响因素变化引起的，与影响因素之间有某种依存关系。如：居民消费额的变化与居民收人的变化有因果关系，企业利润的增加与企业产品成本的降低有关系等。但是，这种依存关系不是严格确定的因果关系，而是一种相关关系。对于预测对象与影响因素之间的相关关系，如果能找到它们之间的变化规律，并把这种规律用数学表达式具体表示出来、加以模型化，就会给预测带来极大的方便。回归分析预测法是通过对预测对象和影响因素的统计整理和分析，找出它们之间的变化规律，将变化规律用数学模型表示出来，并利用数学模型进行预测的分析方法。一、一元线性回归预测基本思想一元线性回归预测是分忻一个因变量与一个自变量之间的线性关系的预测方法。一元线性回归预测的基本思想，可以通过居民消费支出和居民生活费收人的关系来说明。我们知道居民消费支出的多少与居民生活费收入密切相关，收人高，其消费支出就大，反之消费支出就小。但是居民的生活费收入并不能完全决定消费支出，居民消费支出的多少还受到市场环境、居民储蓄额、消费行为、消费心理等诸多因素的影响，因此，居民消费支出与居民生活费收入是一种非确定的相关关系。表7—1为某城市各年居民生活费收人与消费支出的数据。表7—1居民生活费收入与消费支出统计数据单位：亿元序号12345678910生活费收入250290360420450490570650750820消费支出额170250290310330370400500550640从表7—1中的数据可以看出，收人的增加会导致消费支出的增加。为了直观地表示二者的关系，我们用X表示生活费收入，Y表示消费支出，把表7—1中的数据用坐标系中的相关点表示（如图7—1所示）。从图7－1中我们看到，相关点的分布呈现出线性的形态，这说明，生活费收人与消费支出之间不仅存在着相关关系，而且具有线性关系。既然X与Y之间有线性关系，我们就希望通过这些相关点确定出一条直线，利用这条直线表示它们的线性关系，以便于预测。根据图7—1中各点的分布，我们可以画出不同的直线来表示X与Y之间的关系。每条直线代表变量之间关系的程度是不同的，有的代表性强，有的代表性弱，我们需要在这些直线中找出一条最有“代表性”的直线。最常用的确定直线的方法是最小二乘法。最小二乘法的基本思想是：最有“代表性”的直线应该是直线到各点的距离最近。现假设这条直线已经找到，其方程为Y=a+bX，对于变量X的每一个值Xi，点（Xi，Yi）到直线的距离可以用离差（Yi－Y）表示，由于不同的点构成的离差有正有负，为避免在求和时出现正负抵消的情况，我们利用离差的平方和Σ（Yi－Y）2表示多个点到直线的距离。这样，确定最有“代表性”的直线就转化为求Σ（Yi－Y）2的最小值，当由Σ（Yi－Y）2的最小值确定出最有“代表性”的直线后，我们就认为这条直线代表了X与Y之间的线性关系，利用这条直线就可以进行预测。二、一元线性回归预测模型的建立设Y为因变量，X为自变量，（Xi，Yi）（i=1，2，3，…，n）为一组样本观察值，直线方程=a+bX称为估计一元线性回归方程或一元线性拟合模型，其图形称为一元线性回归直线，a和b称为回归系数，由方程=a+bXi确定的，称为Yi的估计值。根据最小二乘法的原理，参数a和b的确定是利用因变量的观察值Yi与估计值i离差平方和为最小来确定，Q（a，b）是参数a和b的函数，根据极值理论，求Q（a，b）的最小值。在利用公式求出参数a和b的值后，即可得到回归方程Y=a+bX。三、实例1根据表7—1中的数据建立居民生活费收入和消费支出的一元线性回归模型。解根据参数a和b的计算公式，将要计算的数据列于表7—2中。表7—2回归分析参数计算数据表序号XiYiXi2Yi2XiYi123456789102502903604204504905706507508201702502903103303704005005506406250084100129600176400202500240100324900422500562500672400289006250084100961001089001369001600002500003025004096004250072500104400130200148500181300228000325000412500524800Σ50503810287750016395002169700将表7—2中