第一章测评(一)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,向量AB',AD',BD是()A.有相同起点的向量B.等长的向量C.共面向量D.不共面向量解析结合图形,A,B明显错误;∵AD'-AB'=B'D'=BD,∴AB',AD',BD共面,C正确,D错误.答案C2.(2020湖南张家界期末)已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是()A.a∥c,b∥cB.a∥b,a⊥cC.a∥c,a⊥bD.以上都不对解析∵a·b=-4+0+4=0,∴a⊥b.∵-4-2=-6-3=21,∴a∥c.∵b·c=-8+0+8=0,∴b⊥c,故选C.答案C3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BA+BC+DD1=()A.D1B1B.D1BC.DB1D.BD1解析如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BA+BC+DD1=(BA+BC)+DD1=BD+DD1=BD1.答案D4.已知空间四边形OABC,M,N分别是边OA,CB的中点,点G在线段MN上,且使MG=2GN,用向量OA,OB,OC表示向量OG是()A.OG=OA+23OB+23OCB.OG=12OA+23OB+23OCC.OG=16OA+13OB+13OCD.OG=16OA+13OB+23OC解析OG=OM+MG=OM+23MN=OM+23(MO+OC+CN)=13OM+23OC+13(OB-OC)=16OA+13OB+13OC.答案C5.已知OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当QA·QB取得最小值时,点Q的坐标为()A.12,34,13B.12,32,34C.43,43,83D.43,43,73解析∵Q在直线OP上,∴可设Q(x,x,2x),则QA=(1-x,2-x,3-2x),QB=(2-x,1-x,2-2x).∴QA·QB=6x2-16x+10,∴当x=43时,QA·QB最小,这时Q43,43,83.答案C6.(2020江西高安期中)已知两个不重合的平面α与平面ABC,若平面α的法向量为n1=(2,-3,1),AB=(1,0,-2),AC=(1,1,1),则()A.平面α∥平面ABCB.平面α⊥平面ABCC.平面α、平面ABC相交但不垂直D.以上均有可能解析由题意,计算n1·AB=2×1+(-3)×0+1×(-2)=0,得n1⊥AB,计算n1·AC=2×1+(-3)×1+1×1=0,得n1⊥AC,所以n1⊥平面ABC,所以平面α的法向量与平面ABC的法向量共线,则平面α∥平面ABC.答案A7.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=14,若(a+b)·c=7,则a与c的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°解析设向量a+b与c的夹角为α,因为a+b=(-1,-2,-3),所以|a+b|=14,cosα=(a+b)·c|a+b||c|=12,所以α=60°.因为向量a+b与a的方向相反,所以a与c的夹角为120°.答案C8.(2020上海闵行期中)长方体A1A2A3A4-B1B2B3B4的底面为边长为1的正方形,高为2,则集合A={x|x=A1B2·AiBj,i∈{1,2,3,4},j∈{1,2,3,4}}中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4解析∵长方体A1A2A3A4-B1B2B3B4的底面为边长为1的正方形,高为2,∴建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(1,1,0),A2(0,1,0),A3(0,0,0),A4(1,0,0),B1(1,1,2),B2(0,1,2),B3(0,0,2),B4(1,0,2),则A1B2=(-1,0,2),与A1B1=(0,0,2)相等的向量为A2B2,A3B3,A4B4,此时A1B2·A1B1=2×2=4;与A1B2=(-1,0,2)相等的向量为A4B3,此时A1B2·A1B2=1+4=5;A1B3=(-1,-1,2),此时A1B2·A1B3=1+4=5;与A1B4=(0,-1,2)相等的向量为A2B3,此时A1B2·A1B4=2×2=4;与A2B1=(1,0,2)相等的向量为A3B4,此时A1B2·A2B1=-1+4=3;A2B4=(1,-1,2),A1B2·A2B4=-1+4=3;A3B1=(1,1,2),A1B2·A3B1=-1+4=3;与A3B2=(0,1,2)相等的向