第一章测评(二)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若平面α⊥平面β,且平面α的一个法向量为n=-2,1,12,则平面β的法向量可以是()A.1,12,14B.(2,-1,0)C.(1,2,0)D.12,1,2解析因为平面α⊥平面β,所以平面α的法向量与平面β的法向量互相垂直.设平面β的法向量为m=(x,y,z),则有n·m=-2x+y+12z=0,即4x-2y-z=0.对于A,4×1-2×12-14≠0,故A不成立;对于B,4×2-2×(-1)-0≠0,故B不成立;对于C,4×1-2×2-0=0,故C成立;对于D,4×12-2×1-2≠0,故D不成立.答案C2.(2020安徽宿州期末)已知a=(1,k,-2),b=(2k,2,4),若a∥b,则实数k的值为()A.-2B.2C.-1D.1解析根据题意,a∥b,设a=tb(t∈R),即(1,k,-2)=t(2k,2,4)=(2kt,2t,4t),则有1=2kt,k=2t,-2=4t,解得k=-1.答案C3.(2020河南新乡期末)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,P是线段D1B上一点,且BP=2D1P,若AP=xAB+yAD+zAA1,则x+y+z=()A.53B.23C.43D.1解析∵BP=2D1P,∴BP=2PD1,即AP-AB=2(AD1-AP)=2AD1-2AP,即3AP=AB+2AD1,即AP=13AB+23AD1=13AB+23AD+23AA1,所以x=13,y=23,z=23,所以x+y+z=53.答案A4.(2020湖南常德期末)已知直线l1的一个方向向量为a=(1,-2,2),直线l2的一个方向向量为b=(1,2,0),则两直线所成角的余弦值为()A.53B.255C.-55D.55解析直线l1的一个方向向量为a=(1,-2,2),直线l2的一个方向向量为b=(1,2,0),则两直线所成角的余弦值为|cos<a,b>|=|a·b||a||b|=335=55.答案D5.已知a=(1-t,1,0),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值是()A.1B.2C.3D.5解析∵a=(1-t,1,0),b=(2,t,t),∴b-a=(1+t,t-1,t),∴|b-a|=(1+t)2+(t-1)2+t2=3t2+2,∴当t=0时,|b-a|取最小值2.答案B6.若平面α的一个法向量为n1=(1,0,1),平面β的一个法向量是n2=(-3,1,3),则平面α与β所成的角等于()A.30°B.45°C.60°D.90°解析平面α的一个法向量为n1=(1,0,1),平面β的一个法向量是n2=(-3,1,3),∴cos<n1,n2>=1×(-3)+0×1+1×312+02+12×(-3)2+12+32=0.∴平面α与β所成的角等于90°.答案D7.(2020江苏南京期末)已知动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1(不含端点)上.设D1PD1B=λ,若∠APC为钝角,则实数λ的取值范围为()A.0,13B.0,12C.13,1D.12,1解析由题设,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),∴D1B=(1,1,-1),∴D1P=(λ,λ,-λ),∴PA=PD1+D1A=(-λ,-λ,λ)+(1,0,-1)=(1-λ,-λ,λ-1),PC=PD1+D1C=(-λ,-λ,λ)+(0,1,-1)=(-λ,1-λ,λ-1).∵cos∠APC<0,∴PA·PC<0,∴(1-λ)(-λ)+(-λ)(1-λ)+(λ-1)2=(λ-1)·(3λ-1)<0,解得13<λ<1,∴λ的取值范围是13,1.答案C8.(2021陕西汉中一模)已知向量a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),{i,j,k}是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算:a×b=(aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)k=ijkaxayazbxbybz=ayazbybz,-axazbxbz,axaybxby,其中行列式计算表示为abcd=ad-bc.若向量AB=(2,1,4),AC=(3,1,2),则AB×AC=()A.(-4,-8,-1)B.(-1,4,-8)C.(-2,8,-1)D.(-1,-4,-8)解析由题意得,AB×AC=(1×2-4×1