第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知平面α和平面β的法向量分别为m=(3,1,-5),n=(-6,-2,10),则()A.α⊥βB.α∥βC.α与β相交但不垂直D.以上都不对答案B解析∵n=(-6,-2,10),m=(3,1,-5),∴n=-2m.∴m∥n.∴α与β平行.2.如图,已知空间四边形OABC,M,N分别是OA,BC的中点,且OA=a,OB=b,OC=c,用a,b,c表示向量MN为()A.12a+12b+12cB.12a-12b+12cC.-12a+12b+12cD.-12a+12b-12c答案C解析如图所示,连接ON,AN,则ON=12(OB+OC)=12(b+c),所以MN=ON-12OA=-12a+12b+12c.3.已知正四面体ABCD的棱长为a,点E,F分别是BC,AD的中点,则AE·AF的值为()A.a2B.14a2C.12a2D.34a2答案B解析在正四面体ABCD中,E,F分别是BC,AD的中点,∴AE=AB+BE,AF=12AD.则AE·AF=(AB+BE)·12AD=12AB·AD+12BE·AD.因为是正四面体,所以BE⊥AD,∠BAD=π3,即BE·AD=0,AB·AD=|AB||AD|cosπ3=a22,所以AE·AF=a24,故选B.4.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=14,若(a+b)·c=7,则a与c的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°答案C解析设向量a+b与c的夹角为α,因为a+b=(-1,-2,-3),所以|a+b|=14,cosα=(a+b)·c|a+b||c|=12,所以α=60°.因为向量a+b与a的方向相反,所以a与c的夹角为120°.5.若正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D是A1C1的中点,则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为()A.45B.35C.34D.55答案A解析取AC的中点O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.设三棱柱的棱长为2,则A(0,-1,0),D(0,0,2),C(0,1,0),B1(3,0,2),∴AD=(0,1,2),CD=(0,-1,2),CB1=(3,-1,2).设n=(x,y,z)为平面B1CD的一个法向量,由n·CD=0,n·CB1=0,得-y+2z=0,3x-y+2z=0,故x=0,y=2z,令z=1,得n=(0,2,1).设直线AD与平面B1DC所成角为α,则sinα=|cos<AD,n>|=|AD·n||AD||n|=45×5=45,所以直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为45.故选A.6.如图,ABCD-A1B1C1D1是棱长为6的正方体,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF.当A1,E,F,C1四点共面时,平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角的平面角的余弦值为()A.32B.12C.15D.265答案B解析以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A1(6,0,6),E(6,3,0),F(3,6,0).设平面A1DE的法向量为n1=(a,b,c),依题意得n1·DE=6a+3b=0,n1·DA1=6a+6c=0,令a=-1,则c=1,b=2,所以n1=(-1,2,1).同理得平面C1DF的一个法向量为n2=(2,-1,1),由题图知,平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角的平面角的余弦值为|n1·n2||n1||n2|=12.7.已知OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当QA·QB取得最小值时,点Q的坐标为()A.12,34,13B.12,32,34C.43,43,83D.43,43,73答案C解析∵Q在直线OP上,∴可设Q(x,x,2x),则QA=(1-x,2-x,3-2x),QB=(2-x,1-x,2-2x).∴QA·QB=6x2-16x+10,∴当x=43时,QA·QB最小,这时Q43,43,83.8.在三棱锥P-ABC中,PC⊥底面ABC,∠BAC=90°,AB=AC=4,∠PBC=60°,则点C到平面PAB的距离是()A.3427B.4427C.5427D.6427答案B解析∵在三棱锥P-ABC中,PC⊥底面ABC,∠BAC=90°,AB=AC=4,∠PBC=60°,∴以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,过A作平面ABC的垂线为z轴