五年级奥数培训资料第六讲同余法解题一、同余这个概念最初就是由德国数学家高斯发明得。同余得定义就是这样得：两个整数,a，b，如果她们同时除以一个自然数m,所得得余数相同，则称ａ,b对于模m同余。。记作a≡b（mod、m）.读作：a同余于b模m。同余得性质也比较多,主要有以下一些：1、、对于同一个除数,两个数得乘积与它们余数得乘积同余。例如201×９５得乘积对于除数7，与２0１÷7得余数5与95÷7得余数4得乘积2０对于7同余。2、、对于同一个除数,如果有两个整数同余，那么它们得差就一定能被这个除数整除。例如519与399对于一个除数同余，那么这个除数一定就是5１９与399得差得因数，即519与3９９得差一定能被这个除数整除。３、、对于同一个除数,如果两个数同余，那么她们得乘方仍然同余。例如20与29对于一个除数同余,那么2０得任何次方都与29得相同次方对于这个除数同余，当然余数大小随次方变化。４。对于同一个除数，若三个数a≡b(mｏｄm）,b≡c(mｏｄm），那么a,ｂ，c三个数对于除数m都同余(传递性）例如60与76同余于模８,７6与2０4同余于模8,那么60,7６，２0４都同余于模8。5、对于同一个除数，若四个数a≡b（modm),c≡ｄ(modｍ），那么a±ｃ≡ｃ±d(ｍodｍ）,(可加减性)６、对于同一个除数,若四个数a≡b（ｍodm），c≡ｄ（ｍodｍ）,那么ac≡cd（moｄm)，（可乘性)二、中国剩余定理解法一个数被3除余1，被4除余2,被5除余4,这个数最小就是几?ﻫ解法：ﻫ求3个数:第一个：能同时被3与４整除，但除以5余4，即12X2＝2４ﻫ第二个：能同时被4与5整除，但除以３余1，即２0Ｘ２=40第三个：能同时被3与５整除，但除以４余2,即１5ｘ２＝30ﻫ这3个数得最小公倍数为60,ﻫ所以满足条件得最小数字为２4＋40＋30-60=３41２X２＝２4２０Ｘ2=4015x2=30中2得来历.ﻫ三、解题技巧同余口诀:“差同减差,与同加与,余同取余,最小公倍ｎ倍加"这就是同余问题得口诀。１)、差同减差：用一个数除以几个不同得数，得到得余数,与除数得差相同，此时反求得这个数，可以选除数得最小公倍数,减去这个相同得差数,称为:“差同减差"。例:“一个数除以4余1,除以5余2，除以6余3”，因为4—1＝５-2=6—3=3,所以取—3，表示为６0－3或者60n—32)、与同加与:用一个数除以几个不同得数,得到得余数,与除数得与相同,此时反求得这个数，可以选除数得最小公倍数，加上这个相同得与数，称为：“与同加与"。例:“一个数除以4余３，除以5余2，除以6余1”,因为４+3=5＋2=6+1=７,所以取+7,表示为6０ｎ+7。3）、余同取余:用一个数除以几个不同得数,得到得余数相同，此时反求得这个数，可以选除数得最小公倍数,加上这个相同得余数,称为:“余同取余”。例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1"，因为余数都就是1，所以取+１，表示为60n+１。4）、最小公倍加：所选取得数加上除数得最小公倍数得任意整数倍（即上面1、2、3中得60ｎ)都满足条件，称为：“最小公倍ｎ倍加",也称为:“公倍数作周期”。三、例题解评例１:判定28８与2１4对于模3７就是否同余思路点拨：可直接由定义判断。解：∵2８8-214=74=３7×2∴2８8≡２14（mod３7）例2、用412、133与25７除以一个相同得自然数，所得得余数相同，这个自然数最大就是几？【解析】假设这个自然数就是a，因为４12、１33与２5７除以a所得得余数相同,所以a｜（412—１３3），a|(4１2—257）,a｜(257－133），说明ａ就是以上三个数中任意两数差得约数,要求最大就是几，就就是求这三个差得最大公约数.（１55，１２４，27９)=３1，所以a最大就是３1。例3、２49×38８×234除以19，余数就是几?【解析】如果把三个数相乘得积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了.因为249≡2（mｄo１9)，388≡8（mdo19）,２34≡６(mdo19）,所以249×３88×234≡2×8×6≡1（ｍdo1９）此题应用了同余得可乘性，同余得传递性。例４：求1９9２×５9除以７得余数.思路点拨：可应用性质2，将１992×59转化为求１992除以７与59除以７得余数得乘积,使计算简化.解：∵19９2≡4(mod7),５9≡3（ｍod7)∴根据性质５可得：1992×５9≡4×3(mod７）,余数为12÷7得余数.答:1９92×５9除以7得余数就是５。例５：自然数16５２０、1４９0３、1４１77除以m得余数相同,m得最大值就是多少？思路点拨:自然数１6５20、１