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二次曲线性质的探索摘要本文主要揭示了平面二次曲线的渐近线,切线,直径等内容的定义与几何性质;二次曲线射影理论和相关性质;二次曲线的系统性质的探究以及泛函微分方程和lagrange乘数在研究二次曲线的性质的应用。关键词二次曲线,几何性质,射影性质,泛函微分方程,lagrange乘数.1引言2基本概念3结论与应用4结束语5致谢语6参考文献1引言1.2课题的研究背景及意义在宇宙天体(行星、彗星)和人造天体(卫星、飞船)的运行轨道,火箭导弹的射程以及在力学上都会看到有几何的踪影。我们知道,几何的主要目的是通过曲线的方程来研究曲线的性质,所以在本课题中,我们将来进行有关二次曲线性质的探讨。通过对相关资料的查阅及分析,我们可以知道,现在的文献关于二次曲线性质的研究基本上是单方面的:平面二次曲线的性质、二次曲线的射影性质、或是关于二次曲线的某个单独性质的探究,可是并没有对于整个二次曲线的性质做一个系统的研究与探索,因此如何对二次曲线的诸多内容性质作一个系统的探究是一个值得研究的方向。由于二次曲线的性质是几何学的一个基本问题,并且在泛函微分方程等方面都有重要作用,因此文献[10]浅谈了泛函微分方程在研究二次曲线性质中的应用,文献[11]给出了用lagrange乘数研究二次曲线的几何性质,因此,本课题对二次曲线性质进行研究时,可以应用以上相关的数学内容来进行探究。2基本概念2切线定义2.1.2如果直线与二次曲线相交两个互相重合的点,那么这条直线就叫做二次曲线在这一点上的切线,这个重合的交点叫做切点.如果直线全部在二次曲线上,我们也称它为二次曲线的切线,直线上的每个点都可看作切点.定理2.1.2如果()是二次曲线的正常点,那么通过()的切线方程是或()是它的切点.如果()是二次曲线的奇异点,那么通过()的切线不确定,或者说通过点()的每一条直线都是二次曲线的切线.3法线定义2.1.3过曲线上一点且垂直于该点的切线的直线,称为曲线在这点的法线.4直径定义2.1.4二次曲线平行弦中点的轨迹叫做这个二次曲线的直径,它所对应的平行弦,叫做共轭与这条直径的共轭弦,而直径也叫做共轭于平行弦方向的直径.推论如果二次曲线的一族平行弦的斜率为k,那么共轭于这组平行弦的直径方程是5共轭方向与共轭直径定义2.1.5二次曲线的与非渐近方向共轭的直径的方向叫做非渐近方向的共轭方向.定义2.1.6中心曲线的一对具有互相共轭方向的直径叫做一对共轭直径.6主直径和主方向定义2.1.7二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径,主直径的方向与垂直于主直径的方向都叫做二次曲线的主方向.补充性质:1二次曲线弦的中点问题定理2.1.3设二次曲线的弦的中点为(),斜率为k,则2二次曲线切线的相关几何性质定理2.1.4过椭圆上任意一点的切线平分它的焦点三角形的外角;椭圆上焦点三角形顶角的外角平分线是椭圆的切线.定理2.1.5过抛物线上任意一点的切线平分其焦垂三角形的顶角;顶角的平分线是抛物线的切线.3二次曲线直径的若干性质定理2.1.6通过非退缩二次曲线的一条直径与这二次曲线的交点引这曲线的切线,则这切线平行于被这直径平分的那组平行弦.特别的,对椭圆或双曲线来说,这切线平行于该直径的共轭直径.定理2.1.7通过非退缩二次曲线的一条弦的两端的切线的交点(设两切线相交)必在这弦的共轭直径上.二、二次曲线的射影性质的基本概念1二次曲线的射影定义定义2.2.1在射影平面上,成射影对应的两个线束对应直线的交点的集合称为二阶曲线.定理2.2.1不同底的两个成射影对应的点列对应点连线的全体构成一条含此二点列的底的二级曲线.二阶曲线和二级曲线统称为二次曲线.2二阶曲线与二级曲线定理2.2.2(Maclaurin定理)一条非退化的二阶曲线全体切线的集合构成一条非退化二级曲线;一条非退化二级曲线全体切点的集合构成一条非退化二阶曲线.3Pascal和Brianchon定理定理2.2.3(帕斯卡定理)对于任意一个内接于非退化的二阶曲线的简单六点形,它得三对对边的交点在一条直线上.这条直线称为帕斯卡线.定理2.2.4(Brianchon定理)对于任意一个外切于非退化的二级曲线的简单六线形,它的三对对顶点的连线通过一个点,这个点称为Brianchon点.3配极原则定理3.1.15(配极原则)如果P点的极线通过Q点,则Q点的极线也通过P点.3结论与应用命题2设曲线,则曲线的几何量论很容易,省略.当时,则的方程变形成,下面就这种情形进行讨论.当时,原点为曲线的对称中心.设点为上的任一点,作函数则可根据函数在约束条件下的极值情况确定曲线的几何特征.(2)模型求解及结果讨论作lagrange函数得方