第三章晶格振动3.1原子质量为m，间距为a的一维单原子链，如果原子的振动依题设，原子的振动位移可表示为因此又因为一维单原子链的色散关系为3.2证明：在由两种不同质量M、m(M>m)的原子所组成的一维复式格子中，如果波矢q取边界值(a为相邻原子间距)，则在声学支上，质量为m的轻原子全部保持不动；在光学支上，质量为M的重原子保持不动。大家应该也有点累了，稍作休息将试探解代入运动方程有3.3一维复式格子，原子质量都为m,晶格常数为a，任一个原子与最近邻原子的间距为b,若原子与最近邻原子和次近邻原子的恢复力常数为和，试列出原子的运动方程并求出色散关系。第代入运动方程，得解上式可得声学格波的色散关系为3.4由原子质量分别为两种原子相间排列组成的一维复式格子，晶格常数为，任一个原子与最近邻原子的间距为，恢复力常数为，与次近邻原子间的恢复力常数，试求得当时：当时：3.5证明由N个质量为m的相同原子组成的一维单原子晶格，每单位频率间隔内的振动模式数为因为对一维单原子链波矢空间的波矢密度3.6设有一维连续介质，介质的弹性模量为E，线密度为设介质的线密度为3.7证明一维单原子链的运动方程，在长波近似下，可以化成弹性波方程在长波近似下，上式说明，于是把(1)式代入运动方程和第n－p个原子对第n个原子的作用力可写成3.10设晶格中每个振子的零点振动能为3.11已知一个频率为在高温极限下，x<<1，3.12试用德拜模型求解上题。所以此时(2)式中的积分变为3.13求频率在上式中的积分一般的不能用解析方法求得，但在极限的情况下，它有如下简单的结果：（1）NaCl的恢复力常数；所以运动，则有式中，A、把下列数据代入：此时q很小，(3)式给出3.20(1)式的分子(1)式的分母代回(1)式便得从经典意义上说，一个谐振子的平均能量，因此上式可写为Na为晶链的长度。把(3)式代入即得故(4)式可写作3.23由正负离子构成的一维离子链，离子间距为，离子质量都为，电荷交替变化，即第个离子的电荷，原子间的互作用势是两种作用势之和，其一为近邻两原子的短程作用，力系数为；其二是所有离子间的库仑作用。证明：证明：第个离子左端的第个离子与第个离子间的库仑力为（2）令（3）则有3.24一维无限长原子链，原子质量为m和M，且m<M。靠得较近的两个原子构成一个分子。设一个分子内两原子平衡位置的距离为b，恢复力系数为1，分子间两原子间的恢复力系数为2，晶格常数为a(如图所示)，求色散关系。据玻恩-卡门周期性边界条件，可以确定波矢q的取值。q可取N个值。高温时，当T>>E时，(2)低温时，当T<<E时，模式密度为:(2)比热表达式D为德拜温度(1)当T>>D时，x<<1，高温时与实验规律相吻合。3.25已知模式密度求:3.26对一维简单晶格，按德拜模型，求出晶格比热，并讨论高低温极限。高温时：低温时：3.26用德拜模型讨论由Ｎ个原子组成的二维正方晶格的比热，其最近邻距离为a。证明在低温时其比热正比于Ｔ２.模式密度为:(2)比热表达式D为德拜温度(1)当T>>D时，x<<1，