微分方程是研究变化规律的有力工具，在科技、工程、经济管理(guǎnlǐ)、生态、环境、人口和交通各个领域中有广泛的应用。不少实际问题当我们采用微观眼光观察时都遵循着下面的模式：净变化率＝输入率－输出率（守恒原理）由已知，建立微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)的常用方法微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)的建模步骤3、配备物理单位：在建模中应注意(zhùyì)每一项采用同样的物理单位．4、确定条件：这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。案例1：一位女士每天摄入2500cal食物，1200cal用于基本新陈代谢(即自动(zìdòng)消耗)，并以每千克体重消耗16cal用于日常锻炼，其他的热量转变为身体的脂肪（设10000cal可转换成1kg脂肪）。星期天晚上，该女士的体重是57.1526kg，星期四那天她饱餐了一顿，共摄入了3500cal的食物，要求建立一个通过时间预测体重的数学模型，并用它估计：（1）星期六该女士的体重？（2）为了不增重，每天她最多的摄入量是多少？（3）若不进食，N周后她的体重是多少？解1、“每天”：体重的变化＝输入(shūrù)一输出其中输入(shūrù)指扣除了基本新陈代谢之后的净重量吸收；输出是进行健身训练时的消耗．2、上述陈述更好的表示结构式：取天为计时单位，记W(t)为t天时体重(kg)，则：每天的净吸收量＝2500–1200＝1300（cal)每天的净输出量＝16(cal)×W＝16W(cal)转换成脂肪量＝1300–16W（cal）3、体重的变化／天＝(千克／天)1、翻译或转化：2、配备(pèibèi)物理单位：3、建立表达式：4、确定条件：有些量是用能量(cal)的形式给出的，而另外一些量是用重量的形式(cal)给出，考虑单位(dānwèi)的匹配，利用1、翻译或转化：2、配备物理单位：3、建立(jiànlì)表达式：4、确定条件：建立(jiànlì)表达式积分(jīfēn)后可求得其通解为：积分(jīfēn)后可求得其通解为：最后得到不同(bùtónɡ)阶段的微分方程是：（1）代入对应(duìyìng)方程，求得案例(ànlì)2在一个巴基斯坦洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家们把它们带到实验室，作碳14年代测定。分析表明C14与C12的比例仅仅是活组织内的6.24％，此人生活在多少年前？（1）问题分析(fēnxī)与模型的建立（2）解案例(ànlì)3、追线问题图2走私船与缉私(jīsī)舰的位置关系几何(jǐhé)关系如何(rúhé)消去时间t?追线模型(móxíng)：解的进一步讨论(tǎolùn)如图所示一个容量为2000m3的小湖的示意图，通过小河A水以0.1m3/s的速度流入，以相同的流量湖水通过B流出。在上午11:05时，因交通事故一个盛有毒性(dúxìnɡ)化学物质的容器倾翻，图中X点处注入湖中。在采取紧急措施后，于11:35事故得到控制，但数量不详湖泊污染(wūrǎn)问题分析由初始条件：当达到安全(ānquán)水平，即C(t)=0.0005时，可求出此时的t=T，即何为房室(fánɡshì)系统？药物的分解与排泄（输出）速率通常被认为是与药物当前的浓度成正比的，即：情况(qíngkuàng)1快速静脉注射情况2恒速静脉(jìngmài)点滴情况(qíngkuàng)3口服药或肌注如下图给出了上述三种情况下体内血药浓度的变化曲线。容易看出，快速静脉注射能使血药浓度立即达到(dádào)峰值，常用于急救等紧急情况；口服、肌注与点滴也有一定的差异，主要表现在血药浓度的峰值出现在不同的时刻，血药的有效浓度保持时间也不尽相同，（注：为达到(dádào)治疗目的，血药浓度应达到(dádào)某一有效浓度，并使之维持一特定的时间长度）。国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克(háokè)／百毫升，小于80毫克(háokè)／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克(háokè)／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克(háokè)／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克(háokè)／百毫升）。大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样(tóngyàng)多的酒，两