立体几何专题之三垂线定理北京大学光华管理学院何洋写在前面的话?高三同学在对立体几何的基本知识进行了系统的复习之后，对于比较重要的定理、概念以及在学习过程中感到难于掌握的问题进行综合性的专题复习是很必要的。在专题复习中应通过分类、总结，提高对所学内容的认识和理解。今天我和大家共同探讨高中立体几何中的三垂线问题。写在前面的话?学习三垂线定理中，感到困难的是分辨直线与直线之间的位置关系，加上往往题目中线条较多，加大了判断难度。另外，许多同学对定理内容不清楚，导致做题时思路混乱。我们首先来说明以下几点，以澄清定理内容：三垂线定理说明（1）?对于平面α的斜线OP，在平面α内必存在射影OAPAOαa三垂线定理说明（2）?如果平面α内的直线a垂直于斜线OP的射影OA，那么α必垂直于斜线OP；反之也成立PaOαA三垂线定理说明（3）?满足条件（2）的直线a必垂直于斜线及射影所确定的平面PAOαa三垂线定理说明（4）?运用三垂线定理及逆定理的规律：确定平面、找到斜线、找到（做出）垂线、连成射影、查面内线PAOαa三垂线定理说明（5）?关于三垂线定理及逆定理的图形，有以下三种情况：①直线a可能过O点；②直线a可能与OA相交；③直线a可能与AO或OA的延长线相交PAOαa举两个例子?①直线a可能过O点如图，已知在直角三角形ABC中，?C=90，AC=18，BC=32，D是AB的中点，DE?平面ABC，DE=12,求：E到AC、BC的距离EAoFDCGB举两个例子解：作DF?AC，DF?AC?F，连接EF，根据三垂线定理可知EF?AC，?DF?12?Rt?DEF，EF?DF2BC?16，DE?12?DE2?20即E点到AC的距离是20，同理可求得E到BC的距离是15。AFEDCGB举两个例子?③直线a可能与AO或OA的延长线相交如图，已知在四面体ABCD中，AB?CD，AC?BD，求证：AD?BCADFEOBGC举两个例子证明:作AO?底面BCD，O为垂足，连结BO并延长交CD于E，则BO、CO分别为AB、AC在底面BCD上的射影。?AB?CD，BE?CD三垂线定理的逆定理）?（DA同理可证：CF?BD?O为?BCD的垂心，连DO并延长交BC于G，则DG?BC由三垂线定理知，AD?BCBFEOGC三垂线定理说明（6）?平行于平面α的直线a，如果垂直于斜线OP在平面α内的射影OA，那么直线a也垂至于斜线OP，它在解某些较复杂的问题时可能化难为易PaAOα举一个例子如图，线段AB平行于平面?，BD、AC为垂直于AB的两条相等的斜线，且分别在AB的两侧，若AB?5cm，AC?BD?8cm，AB和平面?的距离为7cm，求CD的长ABCB1A1αOD举一个例子分析：①因为AB?平面?，又因为AB?AC,AB?BD，则应想到AB也垂直于AC、BD在平面?内的射影A1C、B1D②因为AA1?BB1?7cm且AA1?BB1，所以A1B1?AB?5cm③因为直角?A1CO?直角?B1DO锐角、直角边），（所以A1O?2.5cm④因为A1C?AC?AA1?22ABCB1A1αOD15cm2所以CD?2CO?2A1C2?A1O?285cm三垂线定理说明（7）?大家往往习惯于在水平放置地平面上运用三垂线定理，而在竖直或倾斜放置的平面上需用三垂线定理解题时，即使是很明显的问题，有时也会感到力不从心。应明确的是，三垂线定理及其逆定理的适用与平面所在的位置无关。可做一些练习加深这种印象。举一个例子如图，已知正方体ABCD?A1B1C1D1，求证：AC1?平面A1BDD1A1B1C1DCAB举一个例子证明：如图，连结AD1，对于平面AA1D1D，AC1是斜线，AD1是它的射影，A1D是面内直线，?A1D?AD1?AC1?A1D三垂线定理）同理AC1?BD（?AC1?平面A1BDD1A1B1C1DCAB三垂线定理说明（8）?应用这两个定理时，首先要明确是针对哪个平面应用定理，尤其是应注意此平面非水平面放置的情况，然后再明确斜线、垂线、斜线的射影及面内直线的位置，有时需要添加其中某些线，这样可以确保正确应用定理三垂线定理应用归类?判定空间中两条直线相互垂直?求平面外一点到平面内一条定直线的距离?求二面角的平面角一些例子?判定空间中两条直线相互垂直已知：正方体中截去以P为定点的一角得截面ABC求证：所截得的?ABC是锐角三角形PCAB一些例子?判定空间中两条直线