第一章矢量分析1()()()ABCBCACAB一、矢量运算、标量三重积2()()()ABCBCACAB、矢量三重积()()MN1()MNLMNlMLNN二、标量场、方向导数①定义为标量场中的一点从出发引一条射线是动点距离为当沿趋近于时比值为l()()MN()limML沿方向的方向导数。即。0lllN()MLN是标量场在处沿方向的距离变化率lcoscoscos②直角坐标系中的方向导数表示lxyz2M、梯度①定义标量场在处的梯度为矢量方向是变化率的最大方向大小为变化率的最大值。eee②直角坐标系中的计算xyzxyzI1FdsFdsFedsFFFdsds三、矢量场通量、通量①定义在矢量场中取一个面元矢量与面元矢量的标量积为穿过的通量。。nssFdsFdsSs2lim0divFFFMMSV、散度①定义在矢量场中取一个点作一个包围改点的闭合面当时为处的散度表示在0VVVFM点处的单位体积内发出的的通量。FFFyxz()()()FeeeeFeFeF②直角坐标系中的计算xyzxxyyzzxyzxyz3FdsFdV、散度定理①sVdVdVdVSdVSS②证明将与包围的体积分成无穷多小部分设、、、…对每个小体积的闭合面求通量由于相邻的边界2341iS面的通量相反相互抵消只剩在附近的边界面的通量。FdSFdSFdSFdSFdSFdV其中123iiSSSSS123iFdSFdVFdVFdVFdV123SVII1Fdl环流、环流量①定义C②既不发出矢量线也不汇聚矢量线其产生的矢量线是闭合曲线。2MF、散度①矢量场在点处的旋度是在该点处旋涡源的密度。()()FeeeeFeFeF②在直角坐标系中的计算xyzxxyyzzxyz10F四、、无旋场①由散度源产生如静电场。()0②标量场的梯度场就是无旋场F③可以把无旋场表示成一个标量的梯度20F、无散场①由旋涡源产生如恒定磁场。()0F②矢量场的旋度的散度为零FA③可以把无散场表示成一矢量场的旋度即222221()五、、拉普拉斯运算①对于标量场在直角坐标系中222xyz22222()()FeFeFeFFFF②对于矢量场在直角坐标系中xxyyzz