第2课时利用导数研究不等式恒(能)成立问题1.(2021山东淄博实验中学高三月考)已知函数f(x)=(x+a)lnx,g(x)=a2x2+x,a≤0,且a为常数.(1)当a=0时,求函数f(x)的最小值;(2)若存在x∈(1,2]使得f(x)≥g(x)-2a-2成立,求实数a的取值范围.解:(1)当a=0时,f(x)=xlnx,定义域为(0,+∞),则f'(x)=lnx+1,令f'(x)<0可得0<x<1e,令f'(x)>0可得x>1e,∴f(x)在0,1e内是递减的,在1e,+∞上是递增的,∴f(x)min=f1e=-1e.(2)令F(x)=f(x)-g(x)+2a+2=(x+a)lnx-a2x2-x+2a+2,则原不等式等价于F(x)≥0在x∈(1,2]有解,F'(x)=lnx-ax+ax,令h(x)=lnx-ax+ax,x∈(1,2],则h'(x)=1x-a-ax2=-ax2+x-ax2,当a=0时,F'(x)=lnx>0,则F(x)在(1,2]上是递增的,此时F(x)max=F(2)=2ln2>0,满足题意,当a<0时,h'(x)>0在(1,2]上恒成立,即F'(x)在(1,2]上是递增的,则F'(x)>F'(1)=0,故F(x)在(1,2]上是递增的,则F(x)max=F(2)=(a+2)ln2,则要使F(x)≥0在x∈(1,2]有解,满足(a+2)ln2≥0,解得-2≤a<0,综上,实数a的取值范围为[-2,0].2.(2021安徽涡阳高三质检)设函数f(x)=-2cosx-x,g(x)=-lnx-kx(k>0).(1)求函数f(x)的递增区间;(2)若对任意x1∈0,12,总存在x2∈12,1,使得f(x1)<g(x2),求实数k的取值范围.解:(1)f'(x)=2sinx-1,令f'(x)>0,得2sinx-1>0,∴2kπ+π6<x<2kπ+5π6,k∈Z,∴f(x)的递增区间为2kπ+π6,2kπ+5π6(k∈Z).(2)当x∈0,12时,f'(x)=2sinx-1<0,∴f(x)在0,12上是递减的,∴f(x)max=f(0)=-2,g(x)=-lnx-kx(k>0),当0<k≤12时,g'(x)=-1x+kx2=k-xx2,∵x∈12,1,∴g'(x)≤0,g(x)在12,1上是递减的,∴g(x)max=g12=ln2-2k,由题意可得ln2-2k>-2,又0<k≤12,∴0<k≤12.当k≥1时,g'(x)≥0,∴g(x)在12,1上是递增的,∴g(x)max=g(1)=-k>-2,∴1≤k<2.当12<k<1时,令g'(x)=0,得x=k,当12≤x<k时,g'(x)>0;当k<x≤1时,g'(x)<0,g(x)在12,k上是递增的,在[k,1]上是递减的,∴g(x)max=g(k)=-lnk-1>-2,解得0<k<e,∴12<k<1,综上,k∈(0,2).3.(2021江苏南通模拟)已知函数f(x)=aex-4,g(x)=lnx-x-1,其中e为自然对数的底数,a∈R.(1)若对任意的x2∈(0,1],总存在x1∈(0,1],使得f(x1)≥g(x2),求a的取值范围;(2)若函数y=f(x)的图像始终在函数y=g(x)x-2的图像上方,求a的取值范围.解:(1)对任意的x2∈(0,1],总存在x1∈(0,1],使得f(x1)≥g(x2),则f(x)max≥g(x)max,因为g(x)=lnx-x-1,则g'(x)=1x-1=1-xx≥0对任意的x∈(0,1]恒成立,所以,函数g(x)在区间(0,1]上是递增的,则g(x)max=g(1)=-2.因为f(x)=aex-4,所以当a=0时,f(x)=-4,不满足f(x)max≥g(x)max,故a≠0;当a>0时,f(x)=aex-4在(0,1]上是递增的,所以f(x)max=f(1)=ae-4,即ae-4≥-2,解得a≥2e;当a<0时,f(x)=aex-4在(0,1]上是递减的,所以f(x)=aex-4在(0,1]上没有最大值,不满足题意,综上,a的取值范围为2e,+∞.(2)因为函数y=f(x)的图像始终在函数y=g(x)x-2的图像上方,所以f(x)>g(x)x-2恒成立,因为x>0,ex>0,所以a>lnx+x-1xex=lnx+lnex-1xex=ln(xex)-1xex,令t=xex>0,设h(t)=lnt-1t,其中t>0,则h'(t)=2-lntt2,当0<t<e2时,h'(t)>0,此时函数h(t)是递增的,当t>e2时,h'(t)<0,此时函数h(t)是递减的,所以,h(t)max=h(e2)=1e2,则a>1e2,因此,实数a的取值范围是1e2,+