高考总复习优化设计考情分析导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一,近几年高考命题的趋势是稳中求变、变中求新、新中求活,纵观近几年的高考题,导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,有一定的难度,一般放在解答题的最后两个题目位置,对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学核心素养都有较深入的考查.考向1.“比较法”构造函数证明不等式例1.(2021四川乐山十校联考)已知函数f(x)=ex-ax2+1(a为常数).(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=bx+2,求a,b的值;(2)讨论函数f'(x)的单调性;(3)当a=1,x>0时,求证:f(x)≥(e-2)x+2.(1)解:f'(x)=ex-2ax,f'(1)=e-2a,f(1)=e-a+1,∴曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-e+a-1=(e-2a)x-e+2a,即y=(e-2a)x+a+1,由题意得e-2a=b,a+1=2,∴a=1,b=e-2.(2)解:函数f(x)的定义域为R,∵f'(x)=ex-2ax,设h(x)=f'(x),h'(x)=ex-2a,当a≤0时,h'(x)>0在R上恒成立;当a>0时,令h'(x)>0,即ex-2a>0,解得x>ln(2a),令h'(x)<0,即ex-2a<0,解得x<ln(2a).∴当a≤0时,函数f'(x)在R上为增函数;当a>0时,函数f'(x)在(ln(2a),+∞)上是递增的,在(-∞,ln(2a))上是递减的.(3)证明:令φ(x)=f(x)-(e-2)x-2=ex-x2-(e-2)x-1(x>0),则φ'(x)=ex-2x-(e-2),令t(x)=φ'(x),则t'(x)=ex-2,令t'(x)<0,解得0<x<ln2,令t'(x)>0,解得x>ln2,∴t(x)=φ'(x)在(0,ln2)内是递减的,在(ln2,+∞)上是递增的.∵t(0)=φ'(0)=3-e>0,t(1)=φ'(1)=0,0<ln2<1,∴t(ln2)=φ'(ln2)<0,∴存在x0∈(0,1)使t(x0)=φ'(x0)=0,且当x∈(0,x0)或x∈(1,+∞)时,t(x)=φ'(x)>0,当x∈(x0,1)时,t(x)=φ'(x)<0,∴φ(x)在(0,x0)内是递增的,在(x0,1)内是递减的,在(1,+∞)上是递增的,又φ(0)=φ(1)=0,所以有φ(x)≥0,即f(x)-(e-2)x-2≥0,∴f(x)≥(e-2)x+2.突破技巧欲证函数不等式f(x)≥g(x)在其区间上恒成立,先令h(x)=f(x)-g(x),转化为证明函数h(x)≥0恒成立问题,即求h(x)的单调性及最小值.对点训练1已知函数f(x)=xlnx.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求证:f(x)<x2+x.(2)证明:函数f(x)的定义域为(0,+∞),要证f(x)<x2+x,只需证xlnx<x2+x,即证lnx-x-1<0.考向2.“拆分法”构造函数证明不等式例2.(2021广东佛山高三模拟)已知函数f(x)=ax-lnx(a∈R).(1)讨论函数f(x)在x∈(0,e]的单调性;(2)当x∈(0,e]时,求证:e2x2>(x+1)lnx+x.令F(x)=ex-ex+1,定义域为(0,+∞),则F'(x)=ex-e,当x∈(0,1)时,F'(x)<0,此时函数F(x)是递减的,当x∈(1,+∞)时,F'(x)>0,此时函数F(x)是递增的,可得当x=1时,函数F(x)取得最小值,F(1)=1.当0<x<e时,G'(x)>0,此时G(x)是递增的,当x>e时,G'(x)<0,此时G(x)是递减的,所以当x=e时,函数G(x)取得最大值,G(e)=1.因为F(x)的最小值与G(x)的最大值是在x=1与x=e两个不同的值处取得,考向3.“放缩法”构造函数证明不等式例3.已知函数f(x)=ax-lnx-1.(1)若f(x)≥0恒成立,求a的最小值;所以当x∈(0,1)时,g'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,则g(x)在(0,1)内是递增的,在(1,+∞)上是递减的,所以g(x)max=g(1)=1,则a≥1,所以a的最小值为1.突破技巧导数的综合应用题中,最常见就是ex和lnx与其他代数式结合的题目,对于这类问题,可以先对ex和lnx进行放缩,使问题简化,便于化简或判断导数的正负.常见的放缩公式如下:(1)ex≥1+x,当且仅当x=0时,等号成立;(2)ex≥ex,当且仅当x=1时,等号成立;对点训练3已知函数f(x)=ex-x2.(1)求函数f(x)的图像在x=1处的切线方程;(2)证明:令g(x)=f'(