概率论与数理统计基本公式第一部分概率论基本公式1、A?B=AB=A?AB;A∪B=A∪(B?A)例：证明：?（A∪B)?B=A?AB=AB=A?B.证明：由（A∪B)?B，知B不发生，A发生，则AB不发生，从而Q（A∪B)?B=A?AB成立，也即AB成立，也即A?B成立。得证。2、对偶率：A∪B=A∩B；∩B=A∪B.A3、概率性率：(1)有限可加：A1、A2为不相容事件，则(2)??????P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)P(A?B)=P(A)?P(AB),特别，B?A时有：P(A?B)=P(A)?P(B);P(A)≥P(B)（3）对任意两个事件有：P(A∪B)=P(A)+P(B)?P(AB)例：已知：P(A)=0.5，P(AB)=0.2，P(B)=0.4.求：)P(AB);P(A?B);P(A∪B);P(AB)(1??解：AB+AB=B,且B、B是不相容事件，P(AB)+P(AB)=P(B)QA∴即P(AB)=0.2.,又QP(A)=0.5,∴P(A?B)=P(A)?P(AB)=0.3P(A∪B)=P(A)+P(B)?P(AB)=0.7,P(AB)=PA∪B=1?P(A∪B)=0.3.4、古典概型???例：n双鞋总共2n只，分为n堆，每堆为2只，事件A每堆自成一双鞋的概率(2n)!n!2解：分堆法：C2n=,自成一双为：n！，则P(A)=2（2n-2)！2！C2n5、条件概率P(B|A)=P(AB),称为在事件A条件下，事件B的条件概率，P(B)称为无条件概率。P(A)乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)P(AB)=P(B)P(A|B)全概率公式：(B)=∑P(Ai)P(B|Ai)Pi贝叶斯公式：P(Ai|B)=P(AiB)=P(B)P(Ai)P(B|Ai)∑P(Aj)P(B|Aj)j例：有三个罐子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑4个球，3号装有2红21黑4个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球，（1）求取得红球的概率；（2）如果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少？解：)设Bi={球取自i号罐}，i=1,2,3。A={取得是红球}，由题知B1、B2、B3是一个完备事件(1由全概率公式P(B)=∑P(Ai)P(B|Ai)，依题意，有：P(A|B1)=i231;P(A|B2)=;P(A|B3)=.3421P(B1)=P(B2)=P(B3)=，P(A)≈0.639.∴3P(A|B1)P(B1)(2)由贝叶斯公式：P(B1|A)=≈0.348.P(A)6、独立事件（1）P(AB)=P(A)P(B),则称A、B独立。(2)伯努利概型如果随机试验只有两种可能结果：事件A发生或事件A不发生，则称为伯努利试验，即：P(A)=p,P(A)=1?p=q?(0<p<1,p+q=1)相同条件独立重复n次，称之为n重伯努利试验，简称伯努利概型。伯努利定理：b(k;n,p)=Cnpkk(1?p)n?k（k=0,1,2……）事件A首次发生概率为：p(1?p)k?1例：设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，A发生不少于3次时，当指示灯发出信号，（1）进行5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。解：（1）设B=“5次独立试验发出指示信号”，则由题意有：P(B)=∑C5kpk(1?p)5?k，代入数据得：P(B)=0.163i=35(2)设C=“7次独立试验发出指示信号”，则由题意有：P(C)=∑Cp(1?p)i=3k7k77?k=1?∑C7kpk(1?p)n?k，代入数据，得：P(C)=0.353i=02第二章7、常用离散型分布（1）两点分布：若一个随机变量X只有两个可能的取值，且其分布为：P{X=x1}=p;P{X=x2}=1?p（0<p<1）则称X服从x1、x2处参数为p的两点分布。特别地，若X服从x1=1，x2=0处参数为p的两点分布，即：X0q1ppi则称X服从参数为0―1分布。其中期望E（X）=p,D(X)=p(1-p)（2）二项分布：若一个随机变量X的概率分布由P{X=k}=Cnp(1-p)kkn?k2（k=0,1,2……）给出，则称X服从参数为n，p的二项分布，记为：X~b(n,p)（或B(n，p)其中∑P{X=k}=1，当n=1时变为：P{X=k}=pk=0nk(1?p)1?k（k=0,1）,此时为0―1分布。其期望E（X）=np，方差D(X)=n(1-p)（3）泊松分布：若一个随机变