印度——阿拉伯数字就是我们现代通用的数字，它用10个数码1，2，3，4，5，6，7，8，9，0就可以表示任何数。当然，现在采用的形式是经过漫长的历史发展的结果。这种数字最初产生于印度，印度人对数学的一大贡献是认识了零并发明了“0”符号。8世纪左右，这种数字传入阿拉伯世界，经阿拉伯人的改造，于12世纪传入欧洲。欧洲人当时认为是从阿拉伯人传来的，称为“阿拉伯数字”，至今仍有这种称呼。但由于封建社会的保守性和宗教势力的抵制，长时期没有推行开，直到13世纪末(1299年)意大利佛罗伦萨的法令中仍禁止银行使用印度—阿拉伯数字，有的国家直到16世纪还在抵制它。不过，到文艺复兴时期，大多数国家都采用了这种数字。印度—阿拉伯数字的采用为数学思想方法带来了重大的变革。首先是使记数和算术运算得以简化；其次，印度—阿拉伯数字的采用又在数学中引入了笔算法。这对数学的发展也具有重要的意义。罗马数字太复杂，也不适合笔算，罗马人用算盘来计算。运用计算工具进行计算最著称的还是中国人，算筹和算盘在计算工具史中占有重要的地位，但正是由于计算工具的先进，中国古代并没有发展起笔算来，只是用笔把计算结果记在纸上。笔算固然不如算器算得快，但却能保留计算过程，使人们得以深入研究计算的过程和计算的实质。一方面，为创造更有效的计算工具打下基础；另一方面，关于计算的理论也是在采用笔算后才取得较好的发展的。计算方法在数学中的广泛应用，与笔算的引入也有重要的关系。2.算术的局限性但是随着社会的发展，人类认识到算术在理论上限制了其自身的发展，在应用上面临了不能满足社会实践的需要。这主要表现在它限制抽象的未知数参与运算，只允许具体的、已知的数进行运算。因而导致其在解决问题的方法上存在局限性。这是因为算术解题方法的基本思想是：首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出用已知数据表示所求数量的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。这种方法的关键之处是列算式。但是面临具有较为复杂数量关系的实际问题时，列算式是非常困难的，因此这种方法比较笨拙，甚至无法解决问题。3.代数的产生：1）“代数”术语的来源“代数”（algebra）一词不如被它所命名的那个学科本身一样古老。有一种比较广泛的说法认为，它是来自于830年阿拉伯数学家阿尔·花拉子米（MohammedibnMusaal-Khowârizmî）著作《还原和对消的科学》（《al-Jabrw’alMuqâbala》）的书名。2）数学符号的诞生和发展数学符号是代数的基本特征，数学符号的诞生和发展在一定程度上体现了初等代数的产生和发展历程。在数学符号的诞生和发展中，具有代表性的数学家有古希腊数学家丢番图（Diophantus）、16世纪的法国数学家韦达（F.Viète）和笛卡尔（R.Descartes）、欧拉、莱布尼兹等。英国数学家奧特雷德（WilliamOughtred，1574-1660）在其最有影响力的著作《数学》（Clavismathematicae）（1631年出版）一书中引入了“×”这个符号來代表乘法，也就是我們今天广泛使用的乘号。这个说法虽然有人怀疑，但仍有足夠文献证据支持的。另一位英国数学家哈里奧特（ThomasHarriot，1560-1621）在他的著作《实用分析学》（Artisanalyticaepraxis）（1631年在伦敦出版）則用到6ｙ來表示6乘ｙ的代数式，开始了我們今天用“”來表示乘法的方式。符号表示一个完全抽象的东西，如，这里的符号(字母)是表示某一指定了的运算对象，而这种对象具有上式所表示的更一般的性质。另一方面，一个符号一个意思，因而保证我们能正确无误地指明我们想指明的那一类对象，这无疑提高了我们的统摄一类对象的抽象能力。例如我们说“形如的数”，不用符号大概很难表达出来，表达不出也就是实际上没有“掌握”它们。所以数学符号所代表的抽象能力是数学发展中不可缺少的。二、常量数学局限性，变量数学的产生、发展和意义1.常量数学局限性在建立了太阳中心理论后，17世纪的人们面临了如何改进计算行星位置，以及如何解释地球上静止的物体保持不动、下降的物体还落在地球上等之类的问题。这类问题的核心是物体的运动。面对这类带有运动特征的问题，人们已有的数学知识：算术、初等代数、初等几何和三角等构成的初等数学，显得无效。这是因为初等数学都是以不变的数量（即常量）和固定的图形为其研究对象（因此这部分内容也称为常量数学）。运用这些知识可以有效地描述和解释相对稳定的事物和现象。可是，对于这些运动变化的事物和现象，它们显然无能为力。2.变量数学的产生和发展：变量数学产生的数学基础应该是解析几何，标志是微积分。1）解析几何的产生解析几何的产生主要归功于两位法国数学家笛卡尔和费尔马（PierredeFermat）。费