中学生数学·２０１３年８月上·第４７１期（高中）思安徽省灵璧县第一中学（）郑良２３４２００路文［１］为证明不等式，巧妙地对“１”变形，分析为约去所有的字母，必须凑出与分与使其符合运用均值不等式及等号成立的条件．母相同的因式．为了使同学们更清楚地看到问题的本质，下面ａｂｃ方证明＋＋对原文给予注解（另解）与补充．ｂ＋ｃｃ＋ａａ＋ｂ法例已知＋且求ａｂｃ１ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ，ａ＋ｂ＋ｃ＝１，＝＋１＋＋１＋＋１－３ｂ＋ｃｃ＋ａａ＋ｂ证：１２４（文［］例）＋＋≥１８．１１１１１ａｂｃ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）＋＋－３ｂ＋ｃｃ＋ａａ＋ｂ分析根据均值不等式中“和一定时积最（）１大；积一定时和最小”，需要构造积一定的某些＝［（ａ＋ｂ）＋（ｂ＋ｃ）＋（ｃ＋ａ）］２量，分析题设条件与不等式左端结构特征，对１１１式子乘进行的代换·＋＋－３“１”（“１”）．（）ｂ＋ｃｃ＋ａａ＋ｂ证明１２４·１２４１ａ＋ｂａ＋ｂｂ＋ｃｂ＋ｃ＋＋＝１＋＋＝＋＋１＋１＋＋＋ａｂｃ（）ａｂｃ２（ｂ＋ｃｃ＋ａｃ＋ａａ＋ｂ（）·１２４ｃ＋ａｃ＋ａ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋＋＋１＋－３（）ａｂｃｂ＋ｃａ＋ｂ）２ａ４ａｂ４ｂｃ２ｃ＝１＋＋＋＋２＋＋＋＋４１ａ＋ｂｂ＋ｃａ＋ｂｃ＋ａｂｃａｃａｂ＝３＋＋＋＋＋２［（ｂ＋ｃａ＋ｂ）（）ｃ＋ａａ＋ｂｂ２ａ４ａｃ４ｂ２ｃ＝７＋＋＋＋＋＋ｂ＋ｃｃ＋ａａｂｃａｃｂ＋－３（）（）（）（ｃ＋ａｂ＋ｃ）］≥１１＋６槡２．９３≥－３＝．ｂ２ａ４ａｃ４ｂ２ｃ２２当且仅当＝，＝，＝，ａｂｃａｃｂ点评文［１］利用［（ａ＋ｂ）＋（ｂ＋ｃ）＋（ｃ＋ａ）］即，，，ｂ＝槡２ａｃ＝槡２ｂｃ＝２ａ１１１３＋＋≥３（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）ｂ＋ｃｃ＋ａａ＋ｂ槡代入解得３－槡２（）ａ＋ｂ＋ｃ＝１，ａ＝，３７１１１·３··，过程更加简洁，取等条３２－２６－２２槡ｂ＋ｃｃ＋ａａ＋ｂｂ＝槡，ｃ＝槡，７７件仍然成立．为使分母更加简捷，可采用代数１２４换元．解答如下：所以＋＋≥１８成立．ａｂｃ令ｘ＝ｂ＋ｃ，ｙ＝ｃ＋ａ，ｚ＝ａ＋ｂ，点评对于分式形式的不等式，往往利用ｙ＋ｚ－ｘｚ＋ｘ－ｙ的代换其目的是出现两个互为倒数的解得ａ＝，ｂ＝，“１”，“”２２数其积一定为使用均值不等式创设条件一，，，ｘ＋ｙ－ｚｃ＝．定要注意取等条件的检验．２ａｂａｂｃ例２设ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，求证：＋＋所以＋＋ｂ＋ｃｃ＋ａｂ＋ｃｃ＋ａａ＋ｂｃ３ｙ＋ｚ－ｘｚ＋ｘ－ｙｘ＋ｙ－ｚ≥．（文［１］例６）＝＋＋ａ＋ｂ２２ｘ２ｙ２ｚ网址：ｚｘｓｓ．ｃｂｐｔ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ·７１·电子邮箱：ｚｘｓｓ＠ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ中学生数学·２０１３年８月上·第４７１期（高中）１ｙｘｚｘｚｙ１１－ａ４ａ＝＋＋＋＋＋－３＝１＋＋＋４２［］（）ｘｙ（）ｘｚ（）ｙｚ４（）ａ１－ａ思３１１－ａ４ａ９≥，≥５＋２·＝．２４（）槡ａ１－ａ４路当且仅当即时取等号ｘ＝ｙ＝ｚ，ａ＝ｂ＝ｃ．１－ａ４ａ１当且仅当＝，即ａ＝取时等号．ａ２ｂ２ａ１－ａ３与例３设０＜ｘ＜１，求证：＋≥（ａ＋ｘ１－ｘ点评本例实际上是例题３的特例，按照方２文例ｂ）．（［１］７）分母进行拆分思路更自然．分析为了约去分母，把拆成两个正数＋法１例５已知ａ，ｂ∈Ｒ，且ａ＋ｂ＝１，求证：ｘ与１－ｘ的和．１１２２（文［］例）ａｂａ＋＋ｂ＋≤２．１２证明＋槡２槡２ｘ１－ｘ１２２分析为脱去左端的根号，将，ａｂａ＋ｂ＋＝［ｘ＋（１－ｘ）］＋２ｘ１－ｘ（）１１１２２转化为·（），·（），再运用均ｘｂａ（１－ｘ）１ａ＋１ｂ＋＝ａ２＋＋＋ｂ２２２２１－ｘｘ值不等式ａ＋ｂ２２槡ａｂ≤．ｘｂａ（１－ｘ）２≥ａ２＋ｂ２＋２·槡１－ｘｘ证明因为ａ，ｂ∈Ｒ＋，且ａ＋ｂ＝１，２２·（）２＝ａ＋ｂ＋２｜ａ｜｜ｂ｜≥ａ＋ｂ．１１＋ａ＋ａ２ｂ２１１２点评本例容易出现错解＋≥所以ａ＋＝１·ａ＋≤ｘ１－ｘ槡２槡（）２２２｜ａｂ｜２｜ａｂ｜３ａ≥＝４ａｂ，这里使用了两＝＋①槡ｘ（１－ｘ）ｘ＋１－ｘ４２２１１次均值不等式，取等的条件未必能同时满足同理ｂ＋＝１·ｂ＋．槡２槡（）２利用“”的代换可证明一般结论：已知，，１ｘ１ｘ２１＋＊且１＋ｂ＋…，ｘｎ∈Ｒ，ａ１，ａ２，…，ａｎ∈Ｒ，ｎ∈Ｎｘ１＋ｘ２２３ｂ≤＝＋②２２２２４２则有ａ１ａ２ａｎ＋…＋ｘｎ＝１，＋＋…＋≥（ａ１＋ｘ１ｘ２ｘｎ１由①＋②，并注意到ａ＋ｂ＝１，得ａ＋２２当且仅当｜ａ１｜｜ａ２｜槡ａ２＋…＋ａｎ）．＝＝…ｘ１ｘ２１３１＋ｂ＋≤＋（ａ＋ｂ）＝２．当且仅当ａ＝ｂ｜ａｎ｜２２２＝时取等号．（柯西不