2003年第24期数学通讯71用好a+b+c=1,巧证不等式田林(苏州市虎丘高级中学,江苏215008)在不等式证明中,有一类问题,就是在题设中例3已知a,b,c∈R+且a+b+c=1,求证:都给出了a+b+c=1这一条件,但是证明起来方(1+a)(1+b)(1+c)≥8(1-a)(1-b)(1-c).法却不尽相同.如何用好这个条件,是证明成功的分析利用上述变形和均值定理,有关键.学习过程中,如果能够将这样的一些问题进1+a=(1-b)+(1-c)行适当的区别与归纳,就可以起到事半功倍的效≥2(1-b)(1-c)>0.果,思维能力也可以得到锻炼和提高.以下就举一同样地,些这样的例子.1+b=(1-c)+(1-a)1利用条件将1代换成a+b+c≥2(1-c)(1-a)>0,这种方法是很容易想到的但是在证明的过程,1+c=(1-a)+(1-b)≥中又往往容易忽视.2(1-a)(1-b)>0.例已知a,b,c∈+且abc,求证:1R++=1很显然,根据不等式性质,有(1+a)(1+b)(1(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc.+c)≥8(1-a)(1-b)(1-c),即原不等式成立.分析利用条件将1代换成a+b+c后,很容例4已知a,b,c∈R+且a+b+c=1,求证:易发现原不等式等价于(a+b)(b+c)(c+a)≥111222++≥++.8abc,再根据均值不等式a+b≥2ab,b+c≥1-a1-b1-c1+a1+b1+c分析由例可知2bc,c+a≥2ca很快就能证明原不等式成立.3+()()≥()()例2已知a,b,c∈R且a+b+c=1,求证:1+a=1-b+1-c21-b1-c,1则利用不等式的性质有ab+bc+ca≤.321分析如果直接将不等式右边的代换成0<≤.1a1+a(1-b)(1-c)+b+c,我们发现很难继续证下去.若考虑到不等同样的,式左边是二次乘积的形式,则可以将1看成是12,210<≤,1+b(1-c)(1-a)再用(a+b+c)2来代换,化简以后发现原不等式212220<≤,其实就等价于a+b+c≥ab+bc+ca.此式显然1+c(1-a)(1-b)利用均值不等式很容易证出.从而可以得到一个新的不等式2利用条件将1+a代换成(1-b)+(1-c)2221++≤+1+a1+b1+c(1-b)(1-c)同样的,1+b可以写成(1-c)+(1-a),1+c11可以写成(1-a)+(1-b).这样的变形不太容易想+.(1-c)(1-a)(1-a)(1-b)到但是在解决某一些问题时却又是必不可少的,,下面只需要证明尤其在一些竞赛题当中,利用这种变形,解决问题111++将十分方便.(1-b)(1-c)(1-c)(1-a)(1-a)(1-b)©1995-2008TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.81数学通讯2003年第24期111原不等式进行化简,找出原不等式的等价不等式,≤++(3),1-a1-b1-c进而去证明.即可证明原不等式成立,显然,由均值不等式例6已知a,b,c∈R+且a+b+c=1,求证:可以很快证明出(3)式成立.a2+b2+c2+23abc≤1.3利用条件猜测不等式等号成立的条件分析这一题看似简单,然而证明起来却不怎这样的方法就是利用等号成立的条件,凑出可么容易.可以考虑将1代换成(a+b+c)2,则要证以利用均值不等式的形式,进而去证明原不等式.明原不等式成立,也就是要去证明这种方法其实是均值定理的灵活运用,尽管看似复a2+b2+c2+23abc≤(a+b+c)2.杂,却十分容易上手.化简后即要证明例5已知a,b,c∈R+且a+b+c=1,求证:3abc≤ab+bc+ca,a2b2c21++≥.1-b1-c1-a2也就是要证明1≤2分析根据经验,猜测当且仅当a=b=c=3abc(ab+bc+ca)(3)3成立.在似乎无路可走的情况下,考虑到(3)式左a2b2c21时原不等式取等号,则===.1-b1-c1-a6边是3次的乘积形式,而右边是4次的乘积和的形a2以为例,考虑到要去分母1-b,则必须添式.就很容易去想:如何在保证等价变形的前提之1-b一项k(1-b),k为待定系数.下能够使不等式保持次数上的平衡呢?其实只需a2要在不等式左边乘以a+b+c即可.那么要证明由均值不等式,根据等号成立的条件,即1-b(3)式,也就是要证明11=k(1-b)=,可以求出k=.进而凑出下列643abc(a