证明不等式21．（本小题满分14分）（Ⅰ）已知函数，，求函数的最大值；（Ⅱ）设…，均为正数，证明：（1）若……，则；（2）若…=1，则21．本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想。（满分14分）解：（I）的定义域为，令..................1分当在（0，1）内是增函数；当时，内是减函数；...............................2分故函数处取得最大值...........................................3分（II）（1）由（I）知，当时，有........................................4分，从而有，得，.................................5分求和得.................................6分即.................................7分（2）①先证令则于是由（1）得，即.......................8分.................................10分②再证记，则，于是由（1）得.................................12分即综合①②，（2）得证。.....................................................14分22.（本小题满分13分）已知函数()=，g()=+。（Ⅰ）求函数h()=()-g()的零点个数，并说明理由；（Ⅱ）设数列满足，，证明：存在常数M,使得对于任意的，都有≤.解析：（I）由知，，而，且，则为的一个零点，且在内有零点，因此至少有两个零点解法1：，记，则。当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。又因为，则在内有零点，所以在内有且只有一个零点。记此零点为，则当时，；当时，；所以，当时，单调递减，而，则在内无零点；当时，单调递增，则在内至多只有一个零点；从而在内至多只有一个零点。综上所述，有且只有两个零点。解法2：，记，则。当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。因此在内也至多只有一个零点，综上所述，有且只有两个零点。（II）记的正零点为，即。（1）当时，由，即.而，因此，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：①当时，显然成立；②假设当时，有成立，则当时，由知，，因此，当时，成立。故对任意的，成立。（2）当时，由（1）知，在上单调递增。则，即。从而，即，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：①当时，显然成立；②假设当时，有成立，则当时，由知，，因此，当时，成立。故对任意的，成立。综上所述，存在常数，使得对于任意的，都有.22.（本小题满分13分）已知函数()=，g()=+。（Ⅰ）求函数h()=()-g()的零点个数，并说明理由；（Ⅱ）设数列满足，，证明：存在常数M,使得对于任意的，都有≤.解析：（I）由知，，而，且，则为的一个零点，且在内有零点，因此至少有两个零点解法1：，记，则。当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。又因为，则在内有零点，所以在内有且只有一个零点。记此零点为，则当时，；当时，；所以，当时，单调递减，而，则在内无零点；当时，单调递增，则在内至多只有一个零点；从而在内至多只有一个零点。综上所述，有且只有两个零点。解法2：，记，则。当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。因此在内也至多只有一个零点，综上所述，有且只有两个零点。（II）记的正零点为，即。（1）当时，由，即.而，因此，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：①当时，显然成立；②假设当时，有成立，则当时，由知，，因此，当时，成立。故对任意的，成立。（2）当时，由（1）知，在上单调递增。则，即。从而，即，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：①当时，显然成立；②假设当时，有成立，则当时，由知，，因此，当时，成立。故对任意的，成立。综上所述，存在常数，使得对于任意的，都有.21．（本小题满分12分）已知函数．（I）讨论的单调性；（II）设，证明：当时，；（III）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：（x0）＜0．21．解：（I）（i）若单调增加.（ii）若且当所以单调增加，在单调减少.………………4分（II）设函数则当.故当，………………8分（III）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，故，从而的最大值为不妨设