第34卷第10期数学的实践与认识Vol134No1102004年10月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYOctober,2004教学园地两个微分中值定理证明中辅助函数的多种作法李君士(江西九江师专,江西332000)摘要:在数学分析中,三个微分中值定理极为重要.在证明Lagrange中值定理和Cauchy中值定理时,都少不了作辅助函数,各种版本的《数学分析》或《高等数学》书本中,都只给出了一种形式的辅助函数.为了扩展思路,给出了多种形式的辅助函数,并得出了一般形式.关键词:中值定理;辅助函数1Laguange中值定理辅助函数的作法Rolle中值定理若函数f满足如下条件:(i)f在闭区间[a,b]上连续;(ii)f在开区间(a,b)内可导;(iii)f(a)=f(b),则在(a,b)内至少存在一点N,使得f′(N)=0(1)Lagrange中值定理若函数f满足如下条件:(i)f在闭区间[a,b]上连续;(ii)f在开区间(a,b)内可导;则在(a,b)内至少存在一点N,使得f(b)-f(a)f′(N)=(2)b-a证明∵(2)式可以写作f(b)-f(a)f′(N)-=0(3)b-a依此作辅助函数f(b)-f(a)F(x)=f(x)-x(4)b-a显然,函数F在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,而且F(a)=F(b),于是由罗尔中值定理知道,存在一点N∈(a,b),使得f(b)-f(a)F′(N)=f′(N)-=0(5)b-a这就是所要证明的(3)式.①本文要给出的是Lagrange中值定理证明中所需之辅助函数的多种作法所得的不同形式的函数F(x),皆能满足证明之需.这里的函数f皆满足定理中的条件(i)、(ii).收稿日期:2002201211©1994-2006ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net661数学的实践与认识34卷11取f(b)-f(a)F(x)=f(x)-(x-a)(6)b-a则F(x)满足Rolle定理条件(i)、(ii)及(iii)F(a)=f(a)=F(b)21取f(b)-f(a)F(x)=f(x)-f(a)-(x-a)(7)b-a则F(x)满足Rolle定理条件(i)、(ii)及(iii)F(a)=0=F(b)31取f(b)-f(a)F(x)=f(x)-B-(x-a)(8)b-a其中B为任意常数.则F(x)满足Rolle定理条件(i)、(ii)及(iii)F(a)=f(a)-B=F(b)41取f(b)-f(a)F(x)=f(x)-(x-b)(9)b-a则F(x)满足Rolle定理条件(i)、(ii)及(iii)F(a)=f(b)=F(b)51取f(b)-f(a)F(x)=f(x)-f(b)-(x-b)(10)b-a则F(x)满足Rolle定理条件(i)、(ii)及(iii)F(a)=0=F(b)61取f(b)-f(a)F(x)=f(x)-B-(x-b)(11)b-a其中B为任意常数.则F(x)满足Rolle定理条件(i)、(ii)及(iii)F(a)=f(b)-B=F(b)71取f(b)-f(a)F(x)=f(x)-x(12)b-a则F(x)满足Rolle定理条件(i)、(ii)及(iii),∵由f(b)-f(a)f(b)-f(a)F(a)=f(a)-a,F(b)=f(b)-bb-ab-af(b)-f(a)F(a)-F(b)=f(a)-f(b)-(a-b)=0b-a得F(a)=F(b).8)取f(b)-f(a)F(x)=f(x)-(x-A)(13)b-a©1994-2006ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net10期李君士:两个微分中值定理证明中辅助函数的多种作法761其中A为任意常数.则F(x)满足Rolle定理条件(i)、(ii)及(iii),∵由f(b)-f(a)f(b)-f(a)F(a)=f(a)-(a-A),F(b)=f(b)-(b-A)b-ab-af(b)-f(a)F(a)-F(b)=f(a)-f(b)-(a-b)=0b-a得F(a)=F(b).91取f(b)-f(a)F(x)=f(x)-f(a)-(x-A)(15)b-a其中A为任意常数,则F(x)仍然满足Rolle定理条件(i)