第24卷第3期大学数学Vol.24,.32008年6月COLLEGEMATHEMATICSJun.2008微分中值定理的另类证明与推广王家军(浙江林学院理学院,浙江临安311300)[摘要]通常教科书中,微分中值定理的证明建立在罗尔(Rolle)定理之上.本文以实数连续性中的重要定理区间套定理为依据,给出了拉格朗日微分中值定理的另类证明.此外,还给出了中值定理的若干推广形式.[关键词]微分中值定理;区间套定理;连续;可导[中图分类号]O171[文献标识码]C[文章编号]1672-1454(2008)03-0169-03微分中值定理是微积分学的重要结论之一.它不仅沟通了函数与其导数的关系,也是微分学理论应用的桥梁与基石.在通常教科书中,微分中值定理的证明建立在罗尔(Rolle)定理之上,而罗尔定理则以可导函数在极值点处的导数是零为基础[1,2].由于事实上导数为零的点未必是极值点,因而该证明显得有点美中不足.本文以实数连续性描述中的重要定理区间套定理为依据,给出了拉格朗日(Lagrange)微分中值定理的另类证明.这不仅避开了上述的不足,也将实数定理与微分中值定理建立了联系.这无疑对数学分析有关内容的学习和掌握是有益的.1微分中值定理及其证明为方便讨论,我们先给出如下的结果:引理设非零函数f(x)在[a,b]上连续,且f(a)=f(b),则存在[,][a,b],使得1且-=2(b-a),f()=f().证令1a+b(x)=fx+(b-a)-f(x),xa,.22a+b由题设与连续函数的运算性质,(x)在a,上连续,且21b+a(a)=fa+(b-a)-f(a)=f-f(a),22a+ba+b1b+a2=f2+2(b-a)-f2b+ab+a=f(b)-f2=f(a)-f2=-(a).a+b从而由连续函数的零点定理知,存在a,,使得2[收稿日期]2006-06-26170大学数学第24卷1()=f+(b-a)-f()=0.2特别令1即有,=,=+2(b-a),1f()=f(),-a=(b-a).2当然假如a+b则可改为,f(b)=f2,=a+b=a或=.2定理1(Lagrange)设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则存在(a,b),使得f(b)-f(a)=f()(b-a).(1)f(b)-f(a)证令F(x)=f(x)-x,x[a,b],其中=.由题设可知F(x)在[a,b]上连续,且验b-a算可得bf(a)-af(b)F(a)==F(b).b-a从而由引理知,存在[1,1][a,b],使1F(1)=F(1),1-1=(b-a),2亦即f(1)-1=f(1)-1.于是f(1)-f(1)=.1-1继续对F(x)应用引理,又知,存在[2,2][1,1],使得11F(2)=F(2),2-2=(1-1)=2(b-a).22从而又得f(2)-f(2)=.2-2如此继续,可得一个闭区间套序列{[n,n],n1},满足[n,n][n+1,n+1],n1,1n-n=n(b-a)0,n;2f(n)-f(n)且=,n1.n-n由区间套定理知,存在[n,n][a,b],n1,并使得limn=limn=.nnf(n)-f(n)借鉴引理开头的证明可知F(n)-F(n)介于F()-F(n)与F(n)-F()之间,故知必n-nf()-f(n)f(n)-f()介于与之间.根据定理条件及导数定义,有-nn-f()-f(n)f(n)-f()lim=f(),lim=f().n-nnn-从而有f(n)-f(n)lim=f().nn-n注意到证明开头的假设及上述区间套的造法过程,有f(b)-f(a)f(n)-f(n)=,及,n1.b-an-n第3期王家军:微分中值定理的另类证明与推广171f(b)-f(a)故得==f(),代入(1)即得所证.b-a2微分中值定理的推广微分中值定理要求函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,