第28卷第5期重庆交通大学学报(自然科学版)Vol.28No.52009年10月JOURNALOFCHONGQINGJIAOTONGUNIVERSITY(NATURALSCIENCE)Oct.2009Cauchy微分中值定理的多种探究式证明法邹兆南,谭远顺(重庆交通大学理学院,重庆400074)摘要:以Cauchy中值定理为例,给出了7种Cauchy中值定理的探究式证明方法,探讨了探究式教学法在定理证明过程中的应用,为大学数学教学提出了更高的要求。关键词:Cauchy中值定理;探究式教学;创新性中图分类号:O17211文献标志码:A文章编号:167420696(2009)0520976203SeveralExplorationMethodstoProvetheCauchyMeanTheoremZOUZhao2nan,TANYuan2shun(SchoolofScience,ChongqingJiaotongUniversity,Chongqing400074,China)Abstract:TakingtheCauchyMeanTheoremastheresearchobject,sevenexplorationmethodsaregiventoprovetheCauchyMeanTheorem.Theapplicationofexplorationteachingintheprocessofprovingthetheoremisdiscussed,whichasksforhigherdemandsoftheMathematicsteachingatuniversity.Keywords:CauchyMeanTheorem;explorationteaching;innovationf(b)-f(a)1引言f′(ξ)-g′(ξ)=0(2)g(b)-g(a)微分中值定理是数学分析(或高等数学)中理将式(2)视为某个导函数的值等于0,即:论性较强、证明方法较独特、学生难于掌握的教学内f(b)-f(a)′容。其中微分中值定理更不容易理解。该f(x)-g(x)x=ξ=0,Cauchyg(b)-g(a)定理为[1-2]:由此,作辅助函数设函数()()满足①在闭区间上fx,gx:[a,b]f(b)-f(a)Φ(x)=f(x)-g(x)连续;②在开区间(a,b)内可导;③导函数f′(x),g(b)-g(a)g′(x)不同时为0;④g(a)≠g(b),则至少存在一容易检验,它满足Rolle定理的全部条件:点ξ∈(a,b),使得:Φ(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内f′(ξ)f(b)-f(a)ΦΦ()可导,且(a)=(b).于是,根据Rolle定理,至ξ=1g′()g(b)-g(a)少存在一点ξ∈[a,b],使得Φ′(ξ)=0,即式(1)笔者给出了证明Cauchy微分中值定理的7种成立,从而Cauchy中值定理得证[3]。方法这对于丰富教学内容激发学生的学习热情,,,3常数k法训练学生的探究式数学思维,培养学生的创新能力,利用含常数k的辅助函数来证明一个等式,往都将起着积极的作用。往含有待定系数法的证明特征,其思路简单,符合人2反向分析法的认识规律。这种方法与上述的反向分析法遥相对反向分析法,就是从定理的结论出发,进行一系应,形成一反一正的两个侧面,就象隧道施工一样,列的反向思维分析,寻找结论与条件之间的有机联架起条件与结论之间的逻辑桥梁。系,探索各种可能的证明途径与有效方法。将Cauchy中值定理的结论(1)改写成:假设在(a,b)内至少存在一点ξ,使得等式f′(ξ)f(b)-f(a)-g(b)-g(a)=0(3)(1)成立,将式(1)改写为:g′(ξ)收稿日期:2009206218;修订日期:2009206230基金项目:重庆市教委科学技术研究项目(KT080404);重庆市教育科学“十一五”规划2006年度高校重点研究项目(20062GJ2142)作者简介:邹兆南(19392),男,四川仁寿人,教授,主要从事基础数学、数论的教学与研究。©1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net第5期邹兆南,等:Cauchy微分中值定理的多种探究式证明法977由条件g(a)≠g(b)可知,必定存在一个常数g(b)]上连续的复合函数y=φ(t),且y=φ(t)=k,使得:f[g-1(t)],根据参数方程求导公式可得:f(b)-f(a)-k[g(b)-g(a)]