数学给我们一个用之不竭,充满真理的宝库,这些真理不是孤立的,而是以相互密切的关系并立着,而且随着科学的每一成功进展,我们会不断发现这些真理之间的新的接触点.──C.F.Gauss介绍一类最优问题的求解新框架-变分方法1696年JohnBernoulli向他的兄长和其他思考贝努利约翰Bernoulli,Johann问题数学形式近似方法求这个函数的极小值,就得到问题的近似解functionm6_1(G,H,n)h=H/n;g=9.8;f=1.0;a=0;b=2/(sqrt(2*g*(n-1)/n*H));c=(a+b)/2;i=1;whileabs(f)>1e-10s=0;forj=1:nv=sqrt(2*g*j*h);s=s+v/sqrt(1.0-c^2*v^2);endf=c-G/(h*s);iff>0b=c;elsea=c;endc=(a+b)/2;i=i+1;endx(1)=sqrt(g*h/2)*c*h/sqrt(1.0-c*c*2*g*h);T=sqrt((x(1)-a)^2+h^2)/sqrt(2*g*h)fork=2:nv=sqrt(2*g*k*h);x(k)=x(k-1)+c*v*h/sqrt(1.0-c*c*v*v);T=T+sqrt((x(k)-x(k-1))^2+h^2)/v;endplot(x,-(0.1:h:H),'*r')利用数学软件求解得到的曲线再作分析惟一驻点满足建立数学模型导出微分方程一个引理另一种方法－变分法那么我们的问题成为那么对上式乘以注意从降线定义可知由于在原点y=0,可改写方程functioncycloid(G,H,n)ifnargin==2%两个参数则默认n为100n=100;endg=9.8;h=H/n;minc=0;maxc=1/sqrt(2*g*h*n);x=0;y=0;whileabs(G-x)>1e-4x=0;c=(minc+maxc)/2;%二分法求c值forj=1:ny=j*h;v=sqrt(2*g*y);x=x+c*v*h/sqrt(1-c^2*v^2);gx(j)=x;gy(j)=y;endifx<G%判断最后一个点与所给点的位置情况minc=c;elsemaxc=c;endendT=0;forj=1:nv=sqrt(2*g*j*h);ifj==1s=sqrt(gx(1)^2+h^2);elses=sqrt((gx(j)-gx(j-1))^2+h^2);endT=T+s/v;endplot(gx,-gy,'*r');Tend取G=H=10，n=100取G=H=10，精确解取G=H=10，仿真方法与精确解实验任务用曲线连接面上A(0,0,1),B(1,3,0)两点,求使得上任何一点无摩擦地滑到最低点,试求下滑所谢谢各位！