知识梳理知识梳理1.圆的方程(1)圆的标准方程：.(2)圆的一般方程：.2.点和圆的位置关系设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P.(2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点P.(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P.3.直线与圆的位置关系设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则dr→相离；dr→相切；dr→相交.4.圆与圆的位置关系设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则5.求圆的方程时常用的四个几何性质6.与圆有关的最值问题的常见类型(1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点距离的平方的最值问题.7.计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.(2)代数方法运用根与系数的关系及弦长公式注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.8.空间中两点的距离公式空间中点P1(x1，y1，z1)，点P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝___________________________.题型探究解答解方法一设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心坐标为(a，b)，半径为r＝，∴(a－b)2＝4.又∵b＝2a，∴a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4，∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.方法二设圆的方程为(x－aa)2＋(y－b)2＝10，∵圆心C(a，b)在直线y＝2x上，∴b＝2a.由圆被直线x－y＝0截得的弦长为4，将y＝x代入(x－a)2＋(y－b)2＝10，得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0.设直线y＝x交圆C于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴(a＋b)2－2(a2＋b2－10)＝16，即a－b＝±2.又∵b＝2a，∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.反思与感悟求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤第一步：选择圆的方程的某一形式.第二步：由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组).第三步：解出a，b，r(或D，E，F).第四步：代入圆的方程.注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等.跟踪训练1如图所示，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为______________________.解圆心C(1,2)，半径为r＝2.①当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离为d＝3－1＝2＝r知，此时直线与圆相切.②当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值.反思与感悟当直线与圆相交时，常涉及到弦长问题，弦长的计算有以下两种思路(1)代数方法：将直线和圆的方程联立得方程组，消元后得到一个一元二次方程，在判别式Δ>0的前提下，可利用根与系数的关系及弦长公式求弦长.(2)几何方法：若弦心距为d，圆半径为r，则弦长为l＝2.解决直线与圆相交问题时，常利用几何方法，即构造直角三角形，利用勾股定理，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线.跟踪训练2已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.(1)若直线l过点P，且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；解如图所示，|AB|＝4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，(2)求过P点的圆C弦的中点的轨迹方程.解圆Q1：x2＋y2－2x－6y－1＝0可化为(x－1)2＋(y－3)2＝11，可得圆心Q1(1,3)，r1＝，圆Q2可化为(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圆心Q2(－5,6)，r2＝.当两圆外切时，(2)求当m取何值时两圆内切？(3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．跟踪训练3已知两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为