高考专题放缩法缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩例1．正数数列?an?的前n项的和Sn，满足2Sn?an?1，试求：（1）数列?an?的通项公式；（2）设bn?11，数列?bn?的前n项的和为Bn，求证：Bn?2anan?122解：由已知得4Sn?(an?1)2，n?2时，Sn?1?(an?1?1)2，（1）作差得：an?an?2an?an?1?2an?1，44所以(an?an?1)(an?an?1?2)?0，又因为?an?为正数数列，所以an?an?1?2，即?an?是公差为2的等差数列，由2S1?a1?1，得a1?1，所以an?2n?1（2）bn?11111??(?)，所以anan?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?1Bn?111111111(1?????)???23352n?12n?122(2n?1)2注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前n项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列{an}满足条件an?1?an?f?n?）求和或者利用分组、裂项⒌剐蛳嗉拥确椒ɡ辞蠛停?二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和2例2．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且an?an?2Sn.(1)求证：Sn?an2?an?12；4?S1?S2?????Sn?Sn?1?12(2)求证：Sn222解：（1）在条件中，令n?1，得a1?a1?2S1?2a1，?a1?0?a1?1，又由条件an?an?2Sn有2an?1?an?1?2Sn?1，上述两式相减，注意到an?1?Sn?1?Sn得1(an?1?an)(an?1?an?1)?0?an?0?an?1?an?0所以，an?1?1?(n?1)?n，Sn?所以Sn?∴an?1?an?1n(n?1)222n(n?1)1n2?(n?1)2an?an?1???2224（2）因为n?n(n?1)?n?1，所以n2?n(n?1)n?1，所以?22S1?S2??Sn??n2?3n22?Sn?1?1223n?11?22?3n(n?1)?????????222222；S1?S2??Sn?12?22???n2?n(n?1)22?Sn22．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：a2n?(?a)n?(a?1)?an；2a1（2）等比数列{an}中，a1??，前n项的和为An，且A7，A9，A8成等差数列．设bn?n，数21?an列{bn}前n项的和为Bn，证明：Bn＜．解：（1）当n为奇数时，an≥a，于是，a2n13?(?a)n?an(an?1)?(a?1)?an．当n为偶数时，a－1≥1，且an≥a2，于是a2n?(?a)n?an(an?1)?(a2?1)?an?(a?1)(a?1)?an?(a?1)?an．（2）∵A9?A7?a8?a9，A8?A9??a9，a8?a9??a9，∴公比q?a91??．a821n∴an?(?)．bn?214n11?(?)n2?11．?n4?(?2)3?2nn11(1?2)11112?1(1?1)?1．∴Bn?b1?b2??bn???????22n13?23?23333?22n1?23．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列{an}满足：a1?1，an?1?(1?an?1?an?3?n?12n?1n)an(n?1,2,3?)．求证：2n证明：因为an?1?(1?即an?1?an?n)an，所以an?1与an同号，又因为a1?1?0，所以an?0，2nnan?0，即an?1?an．所以数列{an}为递增