数学归纳法PAGE-11-数学归纳法一.知识梳理数学归纳法的基本形式设P(n)是关于自然数n的命题，若1°P(n0)成立(奠基)2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立(2)数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等二．常用公式（放缩法）1．2．3．(4．()5．（待学）6．（待学）二．放缩技巧所谓放缩的技巧：即欲证，欲寻找一个（或多个）中间变量，使，由到叫做“放”，由到叫做“缩”.常用的放缩技巧（1）若（2），，（3）（4）（5）若，则（6）（7）（因为）（7）或（8）等等。二、典型例题讲解【例1】(09山东)等比数列的前n项和为，已知对任意的，点均在函数的图象上均为常数)（Ⅰ）求r的值。（Ⅱ）当b=2时，记w.w.w.k.s.5.u.c.o.m求证：对任意的不等式成立解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为,（2）当b=2时，,则,所以下面用数学归纳法证明不等式成立.当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=所以当时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.【例2】(09陕西）已知数列满足，.猜想数列的单调性，并证明你的结论；(Ⅱ)证明：。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m证（1）由由猜想：数列是递减数列下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证命题成立（2）假设当n=k时命题成立，即易知，那么=即也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立（2）当n=1时，，结论成立当时，易知w.w.w.k.s.5.u.c.o.m三、同步练习一、选择题1．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为()A．a＝eq\f(1,2)，b＝c＝eq\f(1,4)B．a＝b＝c＝eq\f(1,4)C．a＝0，b＝c＝eq\f(1,4)D．不存在这样的a、b、c2.(1)已知，则（）A．B．C.D．3用数学归纳法证明能被8整除时，当时，可变形为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．4.（1）已知=,=,则的值分别为_________，由此猜想=_________.（2）设，，求证:(放缩法)5.已知数列{}是等差数列，=,=145.(1)求数列{}的通项公式;(2)设数列{}的通项=(其中a＞0且a≠1)记是数列{}的前n项和，试比较与的大小，并证明你的结论.6.设实数q满足|q|＜1,数列{}满足：,≠0,·=－,求表达式，又如果＜3,求q的取值范围.7（2010重庆卷C）在数列中，，其中实数．(Ⅰ)求的通项公式；(Ⅱ)若对一切有，求c的取值范围．[8（2010全国Ⅰ卷C）已知数列中，.（Ⅰ）设，求数列的通项公式；（Ⅱ）求使不等式成立的的取值范围.9．（10广州）设为数列的前项和，对任意的N，都有为常数，且．（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的公比，数列满足，N，求数列的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求证：数列的前项和．10．（010深圳）在单调递增数列中，，，且成等差数列，成等比数列，．（放缩法）（1）分别计算，和，的值；（2）求数列的通项公式（将用表示）；（3）设数列的前项和为，证明：，5解：(1)解：设数列{}的公差为d,由题意得,∴=3n－2(2)证明：由=3n－2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+)=loga［(1+1)(1+)…(1+)］而loga（）=loga,于是，比较Sn与loga（）的大小比较(1+1)(1+)…(1+)与的大小.取n=1，有(1+1)=取n=2，有(1+1)(1+推测：(1+1)(1+)…(1+)＞(*)①当n=1时，已验证(*)式成立.②假设n=k(k≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)＞则当n=k+1时，,即当n=k+1时，(*)式成立由①②知，(*)式对任意正整数n都成立.于是，当a＞1时，Sn＞loga（）,当0＜a＜1时，Sn＜loga（）6.解：∵a1·a2=－q,a1=2,a2≠0,∴q≠0,a2=－,∵an·an+1=－qn,an+1·an+2=－qn+1两式相除，得,即an+2=q·an于是，a1=2,a3=2·q,a5=2·