2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试（一、选择题：本题满分42分，每小题7分）选择题：1．已知a+b=2，．(1?a)2(1?b)2+=?4，则ab的值为baB．?1.C．?（B）A．1.1.2D．1.22．已知△ABC的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大．值为（B）A．5.B．6.C．7.D．8.3．方程|x2?1|=(4?23)(x+2)的解的个数为．（C）A．1个B．2个C．3个D．4个.4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线．段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有（C）A．5组.B．7组.C．9组.D．11组.AB=3，=1，DAB=60°，EFG=15°，DF∠∠5．如图，菱形ABCD中，．FG⊥BC，则AE=（D）A．1+DFC2.B．6.GC．23?1.6．已知．D．1+3.AEB111111111234+=，+=，+=，则++的值为xy+z2yz+x3zx+y4xyzB．（C）A．1.3.2C．2.D．5.2（二、填空题：本题满分28分，每小题7分）填空题：1．在△ABC中，已知∠B=2∠A，BC=2,AB=2+23，则∠A=15°．．2．二次函数y=x2+bx+c的图象的顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，与y．轴正方向交于C点，若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则b+2c=3．能使2+256是完全平方数的正整数n的值为．n2．11．C4．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F，如果DE=EF的中点，则AB＝24．3CE，AC=85，D为4AEOBDF第二试（A））（本题满分一、本题满分20分）（已知三个不同的实数a,b,c满足a?b+c=3，方程x+ax+1=0和x+bx+c=0有一个相同22的实根，方程x2+x+a=0和x+cx+b=0也有一个相同的实根．求a,b,c的值．2解依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．设x1是方程①和方程②的一个相同的实根，则??x12+ax1+1=0,c?1两式相减，可解得x1=．2a?bx1+bx1+c=0,?2?x2+x2+a=0,a?b两式相减，可解得x2=。2c?1?x2+cx2+b=0,设x2是方程③和方程④的一个相同的实根，则?所以x1x2=1．2又方程①的两根之积等于1，于是x2也是方程①的根，则x2+ax2+1=0。2又x2+x2+a=0，两式相减，得(a?1)x2=a?1．若a=1，则方程①无实根，所以a≠1，故x2=1．于是a=?2,b+c=?1．又a?b+c=3，解得b=?3,c=2．（二．本题满分25分）如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠ABC=90°，∠BCD=120°，对角线AC,BD交于点S，且DS=2SB，P为AC的中点．求证：（1）∠PBD=30°；（2）AD=DC．证明（1）由已知得∠ADC=90°，从而A,B,C,D四点共圆，AC为直径，P为该圆的圆心．作PM⊥BD于点M，知M为BD的中点，所以∠BPM＝∠PBM=30°．1∠BPD＝∠A=60°，从而2D1（2）作SN⊥BP于点N，则SN=SB．2M1S又DS=2SB,DM=MB=BD，P2N31A∴MS=DS?DM=2SB?SB=SB=SN，22∴Rt△PMS≌Rt△PNS，∴∠MPS=∠NPS=30°，1又PA=PB，所以∠PAB=∠NPS=15°，故∠DAC=45°=∠DCA，所以AD=DC．2CB三．本题满分25分）（本题满分（已知m,n,p为正整数，m<n．设A(?m,0)，B(n,0)，C(0,p)，O为坐标原点．若∠ACB=90°，且OA2+OB2+OC2=3(OA+OB+OC)．（1）证明：m+n=p+3；（2）求图象经过A,B,C三点的二次函数的解析式．2解（1）因为∠ACB=90°，OC⊥AB，所以OA?OB=OC，即mn=p．2222222由OA+OB+OC=3(OA+OB+OC)，得m+n+p=3(m+n+p)．又m+n+p=(m+n+p)?2(mn+np+mp)=(m+n+p)?2(p+np+mp)222222=(m+n+p)2?2p(m+n+p)=(m+n+p)(m+n?p)，从而有m+n?p=3，即m+n=p+3．（2）由mn=p2，m+n=p+3知m,n是关于x的一元二次方程x2?(p+3)x+p