四面体的性质探究如果从面的数目上来说,四面体是最简单的多面体.一.四面体性质1.四面体的射影定理:如果设四面体ABCD的顶点A在平面BCD上的射影为A证明:S3=S3S1cosθ1-3+S3S2cosθ2-3+S3S4cosθ3-42=S1S3cosθ1-3+S2S3cosθ2-3+S3S4cosθ3-4=S1(S1-S2cosθ1-2+S4cosθ1-4)+S2(S2-S1cosθ1-2+S4cosθ2-4)+S4(S4-S1cosθ1-4+S2cosθ2-4)S4S2S1DOS3CO,△ABC的面积为S1,△ADC的面积为S2,△BCD的面积为S3,△ABD的面积为S4,二面角A-BC-D为θ1-3,二面角A-DC-B为θ2-3,二面角A-BD-C为θ3-4,二面角C-AB-D为θ1-4,二面角C-AD-B为θ2-4,二面角B-AC-D为θ1-2,则S1=S2cosθ1-2+S3cosθ1-3+S4cosθ1-4S2=S1cosθ1-2+S3cosθ2-3+S4cosθ2-4S3=S1cosθ1-3+S2cosθ2-3+S4cosθ3-4S4=S1cosθ1-4+S2cosθ2-4+S3cosθ3-42.性质2(类似余弦定理)S1=S2+S3+S4-2S2S3cosθ2-3-2S2S4cosθ2-4-2S3S4cosθ3-4S22=S12+S32+S42-2S1S3cosθ1-3-2S1S4cosθ1-4-2S3S4cosθ3-42222=S12+S22+S42-2S1S2cosθ1-2-2S1S4cosθ1-4-2S2S4cosθ2-4二.正四面体的性质设正四面体的棱长为a,则这个正四面体的(1)全面积(2)体积S全=V=3a2;B23a;12(3)对棱中点连线段的长d=2a;(此线段为对棱的距离,若一个球与2正四面体的6条棱都相切,则此线段就是该球的直径.)1(4)相邻两面所成的二面角α=arccos3(5)对棱互相垂直.1(6)侧棱与底面所成的角为β=arccos3(7)外接球半径R=6a;4S32=S12+S22+S42-2S1S2cosθ1-2-2S1S4cosθ1-4-2S2S4cosθ2-4S42=S12+S22+S32-2S1S2cosθ1-2-2S1S3cosθ1-3-2S2S3cosθ2-3特别地,当cosθ1-2=cosθ1-4=cosθ2-4=0,即二面角C-AB-D,C-AD-B,B-AC-D均为直二面角(也就是AB,AC,BC两两垂直)时,有S32=S12+S22+S42,(8)内切球半径r=6a.12(9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高).三.直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面体有下列性质:如图,在直角四面体AOCB中,∠AOB=∠BOC=∠COA=90°,a,OB=b,OC=c.OA=则①不含直角的底面ABC是锐角三角形;②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心;1③体积V=abc;6122④底面面积S△ABC=ab+b2c2+c2a2;2⑤S⑥S⑦2△BOC利用上述结论可迅速解决如下各题:例1.正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等,如果E,F分别为SC,AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等(A)(90年全国高考试题)OHCD(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°分析:本题若仔细观察已知条件,易知S-ABC为正四面体.而一正四面体必可补成正方体(如图2),显然,EF在正方体的两底面的中心连线上,与正方体的侧棱SD平行,由∠ASD=45°,知选(C).例2.棱长为2的正四面体的体积为_____________.(98年上海高考题)本题若直接计算,有一定的难度与计算量,若利用上述习题结论,将其补成正方体,可取得事半功倍之效.解:将该正四面体补成正方体,由正四面体的棱长为2,易知正方体的棱长为B=S△BHCS△ABC;2222△BOC+S△AOB+S△AOC=S△ABC2.故V正方体=(2)=2231111=2+2+2;2OHabc12⑧外接球半径R=a+b2+c2;2S+SBOC+SAOCSABC⑨内切球半径r=AOBa+b+c三.应用123∴V正四面体=V正方体=.33例3.一个球与正四面体的6条棱都相切,若正四面体的棱长为a,则这个球的体积为__________.(2000年全国高中数学竞赛试题)本题所给的参考答案较复杂,若能把正四面体补成正方体,然后再利用正四面体的棱切球半径等于正方体的内切球半径解决,就会HEFG有意想不到的解题功效.解:(如图)将正