PAGE-4-谈一元二次方程的有理根与整数根的条件整系数一元二次方程有有理根的充要条件是：为一有理数的平方。而有整数根，△必为一完全平方式。注意这里皆为整数，前者△是有理数的平方，而非一般认为的完全平方式。而后者△为一完全平方式只是必要条件，不是充分条件，正确应用这些条件，可以解决很多有趣的问题，但在应用中往往要结合整数性质进行讨论。一、与有理根有关的问题例1.m为有理数，问k为何值时，方程的根为有理数？解：原方程即：如若有有理根，则应是某一有理数的平方，可知，从而。本题也可这样解：原方程化为如有有理根，则得二、与整数根有关的问题例2.若方程有整数根，且为自然数，则的值有__________个。解：有整数根，则为一完全平方式，设为，于是即视<1>为的一元二次方程，它应有整数解，由可见（1）令，则<1>式为：<2>若要有整数解，则应为完全平方式。令，则因为所以有如下两种情形。无整数解，舍去。代入<2>式得：所以或（舍去）将代入（*）式得：所以满足条件。由对称性（方程系数是对称的）知也是所求。（2）令，则<1>式为：<3>若有整数解，则应为某一完全平方式故令，则因为所以又有两种情形。代入<3>式得：或（舍去）将代入（*）得：所以为所求。代入<3>式得：或（舍去）将代入（*）式得：，有整数解，故为所求。由对称性知也为所求。故符合题意的整数对m、n有（5，1）、（1，5）、（3，2）、（2，3）、（2，2）共5个。三、与因式分解有关的问题例3.是什么整数时，能分解成两个连续自然数的积？解：设（n为自然数），则：原问题即为何值时关于的一元二次方程<1>有正整数解，所以：应为某整数的平方，设为。则：化为：因为是整数，故再次利用有整数解的条件，应有是某一整数的平方，也即为一完全平方数，又设为，于是，即或因为所以又因是偶数，故与有相同的奇偶性，故：①②③④由①解得：，此时<2>式为：或（舍去）由②解得：，此时<2>式为：或（舍去）由③解得：，此时<2>式为：或（舍去）由④解得：，此时<2>式为：或（舍去）经检验，均为所求值，所以时，能分解成两个连续的自然数的积。事实上，对：时，时，时，时，注意“△是一完全平方式”只是整系数一元二次方程有整数根的必要条件，倘若将它视为充要条件则会出现错误。例4.（1998年全国初中数学竞赛试题）已知方程（a是非负整数）至少有一个整数根，那么____________。如若认为是完全平方式，从而原方程至少有一整数根，那就大错特错了。实际上由方程解出。故当或或时均不可能有整数解。