第一章极限与连续单调有界必有极限极限存在准则夹逼定理sinx=1limx→0x两类重要极限1xlim(1+)=ex→∞x有限个无穷小的和,积仍是无穷小有限个无穷小的和积仍是无穷小无穷小性质无穷小与有界量的积仍是无穷小与无穷大比较(高阶低阶同阶等价k阶)高阶,同阶,高阶低阶,同阶等价,1常用等价无穷小e1x当x→0,~xsinx~xtanx~xln(1+x)~~~xlnaarcsinx~xarctanx~xxax1(1+x)α12~αx~x3221cosxx2tanxsinx通分;同除最高次幂;(1)消去零因子法(2)同除最高次幂(3)通分消去零因子法;函数极限的求法(4)同乘共轭因式(5)利用无穷小运算性质同乘共轭因式;(6)复合函数求极限法则(7)利用左,右极限求分段函数极限利用左,右极限求分段函数极限;(8)利用夹逼定理利用夹逼定理;(9)利用两类重要极限利用两类重要极限;(10)利用;无穷小(11)利用(12)利用性质(函数性质法则.法则法则+法则法则+法则法);法无穷小限分求31+tanx1+sinx例limx→0etanxesinxtanxsinx=limx→0(1+tanx+1+sinx)(etanxesinx)tanxsinx1tanxsinx1=limsinxtanxsinx=limtanxsinx2x→0e(e1)2x→0ee当x→0,etanxsinx1~tanxsinx,1tanxsinx故原式=limsinxtanxsinx2x→0e(e1)1tanxsinx1=limsinx=2x→0e(tanxsinx)24两对重要的单侧极限(a>1)x→0lima=0,1xx→0lim+a=∞,1x1π1πlimarctan=,lim+arctan=.x→0x2x2x→0一类需要注意的极限limx2+1=1,xlimx2+1=1.x5x→∞x→+∞连续定x→x0的义左连续,右连续左连续,第一类间断(可去型跳跃型可去型,可去型跳跃型)间断点的分类无穷型,无穷型振荡型)第二类间断(无穷型振荡型最大最小值定理最大,最小值定理闭区间连续函数的性质有界性介值定理零点定理介值定理,limf(x)=f(x0)6例求f(x)=1x1x的间断点,并指出其类型并指出其类型.1e解当x=0,x=1时,函数无定义是函数的间断点函数无定义,是函数的间断点.1=∞,x=0,由于limf(x)=limxx→0→x→01x1e是函数的第二类间断点且是无穷型第二类间断点,无穷型.所以x=0是函数的第二类间断点且是无穷型1由于limf(x)=limx=1,=0xx→1x→11x→+∞1e1limf(x)=lim=1x++x→1x→11x→∞1e所以x=1是函数的第一类间断点且是跳跃型是函数的第一类间断点且是跳跃型第一类间断点,跳跃型.7例求的间断点,的间断点,并判别其类型.并判别其类型.解x=1,x=1,x=0是间断点,是间断点,1(1+x)sinx=sin1,limx=1,x→1x(x+1)(x1)2x=–1为第一类可去间断点为第一类可去间断点x=1,limf(x)=∞,x→1x=1为第二类无穷间断点为第二类无穷间断点x=0,limf(x)=1,limf(x)=1.+x→0x→0x=0为第一类跳跃间断点为第一类跳跃间断点8例求=y211x1x2+1.并判断其类型1,+sin(x1)sin的间断点x1.解:可知x=0,x=1是可能的间断点(1)在x=0处,x→0limy=1+sin2(1),+y=1+sin2(1)limx→0x,但不相等,但不相等,因在=0处的左右极限都存在所以x=0为函数的第一类间断点,且是跳跃间断点.9(2)在x=1处,limy=lim[x→1x→1212+11x1x11]=+sin(x1)sinx13即在=1处函数的左右极限都存x在且相等,在且相等,所以x=1是函数的第一类间断点,且是可去间断点.10a(1cosx)x2例设函数连续,在x=0连续,则a=连续=2,b=e.a(1cosx)a=提示:提示:f(0)=lim2x→02xf(0)=limln(b+x)=lnb++2x→0a=1=lnb2121cosx~x21112xsin,例讨论f(x)=x0,x≠0x=0在x=0处的连续性与可导性.处的连续性与可导性eax,x≤0处处可导,那么例如果f(x)=b(1x2),x>0()(A)(