第二章分析力学(AnalyticalMechanics)基本概念---约束.自由度.广义坐标.基本概念---约束.自由度.广义坐标.虚位移---约束平衡问题----虚功原理平衡问题----虚功原理---拉格朗日方程位形空间哈密顿原理哈密顿正则方程哈密顿原理动力学相空间运动积分泊松括号L判据H判据.泊松括号判据判据.判据.判据判据时空对称性.时空对称性.不可观测量和守恒定律§1.基本概念(BasicConcepts)1.基本概念(Basic基本概念牛顿力学两大困难约束力未知一.约束?坐标不独立定义:定义:物体运动过程中受到限制约束方程:约束方程r&f(r.r.t)=0几何约束:几何约束微分约束:微分约束rf(r,t)=0rr&f(r,r,t)=0完整约束与非完整约束:完整约束与非完整约束约束分类:约束分类几何约束可积分的微分约束稳定约束与非稳定约束:稳定约束与非稳定约束完整约束rf(r)=0rf(r,t)=0可解约束与不可解约束几何约束:几何约束xrf(r,t)=022x+y=l…(1)2l(X,y)ydemonstration微分约束:微分约束rr&f(r,r,t)=0&θ&xc&&c=aθx…(2)Example:(x2?x1)+(y2?y1)=l222yX2,y2X1,y1mz1=z2=0…(3)(x,y)θcmm1+m21xxx=m+m=2(x1+x2)xm1+m21yyy=m+m=2(y1+y2)&&&y2?y1yy1+y2==tg=θ&&1&xx+x2x2?x1x…(4)(x2?x1)dy1+(x2?x1)dy2?(y2?y1)dx1?(y2?y1)dx2=0…..(4)任一微分约束均可表示为aidxi+atdt=0(i=12,3......N),a=a(x,t)a=a(x,t)ttiiii爱因斯坦求和约定如果:??j?i?taaaai==?jx?i?xt?xi则微分方程可积(x2?x1)dy1+(x2?x1)dy2?(y2?y1)dx1?(y2?y1)dx2=0&&xc=aθ是否可积?是否可积?几何约束和完整约束:完整约束可积分的微分约束非完整约束:不可积分的微分约束非完整约束:可解约束与不可解约束:可解约束与不可解约束:用不等号表示约束用等号表示约束可解约束不可解约束二.自由度和描述度系统有N个质点,系统有N个质点,受k个完整约束和m个非完整约束个完整约束和m定义自由度:f=3N-(k+m)描述度:描述一个力学系统所需独立坐标数目:S描述度:描述一个力学系统所需独立坐标数目:S完整约系非完整约系f=Sf<S三.广义坐标(Generalizedcoordinates)广义坐标(Generalized位形空间(Configurational位形空间(ConfigurationalSpace)完整约束系统的自由度为S(f),则完整约束系统的自由度为S(f),则S(f),可选S可选S个独立参量来描述此系统广义坐标r可q描系既用又用述统可ri它间系们联q(q1,q2,q3……qs)rrr=r(q,t)ii变换方程Attention:广义坐标数目由自由度确定“广义”二字的含义广义”广义对给定力学系统,对给定力学系统,广义坐标选取不唯一全部直角坐标能用广义坐标表示则对广义坐标正确与否的判断如果全部直角坐标不能用广义坐标表示则错广义坐标克服了牛顿力学中坐标不不独立的困难位形空间由S个广义坐标张开成S维抽象空间个广义坐标张开成Sqjqi虚位移(Realdisplacement,四.实位移可能位移虚位移实位移Possibledisplacement,Virtualdisplacement)实位移设系统有N个质点,设系统有N个质点,受k个几何约束rrr&m&=F+Niriidt≠0rrrrfj(r,r2,....r...rN,t)=01i(j=12,3....k),(i=123…N)rrrrfj(r,r,....r...rN,t)=012i(j=12,3....k,i=12,...N),,rdr称实移i为位特点:特点:唯一性代表真实运动实位移特点唯一性代表真实运动既满足运动规律又满足约束方程≠不考虑运动规律限制,不考虑运动规律限制,只考虑约束限制条