三环高中2012年高二下学期期中考试数学（理）试卷考试时间：120分钟试卷总分：150分命题：韩胜祥审题：王渡江一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有－项是符合题目要求的．1、设为虚数单位，复数的虚部为（）A、B、C、D、2、用数学归纳法证明等式时，验证，左边应取的项是()A、B、C、D、3、函数处的切线方程是（）A、B、C、D、4、下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程为，那么表中的值为（）A、3B、3.15C、3.5D、4.55、有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点.以上推理中（）A、大前提错误B、小前提错误C、推理形式错误D、结论正确6、抛物线与直线所围成图形的面积（）A、B、C、D、47、曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、8、若，则的值为（）A、B、C、D、9、设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）yxOyxOyxOyxOA．B．C．D．10、函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（）①②③④A、①②③④B、①②④C、①③④D、①③二、填空题：（本题共5小题，每小题5分，共25分）11、函数的单调递增区间是12、从甲、乙、丙、丁四名同学中选出三名同学，分别参加三个不同科目的竞赛，其中甲同学必须参赛，则不同的参赛方案共有13、已知实数满足条件，（为虚数单位），则的最小值是14、的展开式中，的系数是15、设，类比课本中用倒序相加法推导等差数列前项和公式，可求得的值是三、解答题：（本题共6小题，共75分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16、（本题满分12分）已知数列的前项和为，且，（1）求的值（2）猜想的表达式并用数学归纳法证明17、（本题满分12分）设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．（1）求，，的值（2）求函数的单调区间，并求函数在上的最大值和最小值18、(本题满分12分)为了解学生喜欢数学是否与性别有关，对50个学生进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜欢数学不喜欢数学合计男生5女生10合计50已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢数学的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)（2）是否有99.5％的把握认为喜欢数学与性别有关？说明你的理由（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜欢数学的女生人数为X，求X的分布列与期望下面的临界值表供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：，其中)19、（本题满分12分）已知是全不相等的正实数，证明：20、（本题满分12分）高二某班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验.（1）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次发芽成功的概率；（2）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但实验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽试验的次数的概率分布列和数学期望．21、（本题满分14分）已知函数，设（1）求的单调区间（2）若以图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值（3）是否存在实数，使得函数的图象与的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由。