第二章2.1合情推理与演绎推理2.1合情推理与演绎推理哥德巴赫猜想欧拉回信说，这个命题看来是正确的，但是他也给不出严格的证明。同时欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于2的偶数都可以把它写成两个素数之和。但是这个命题他也没能给予证明。例如６＝３＋３８＝３＋５１０＝５＋５２０＝３＋１７２４＝５＋１９２６＝……用当代语言来叙述，哥德巴赫猜想有两个内容：第一部分叫做奇数的猜想，第二部分叫做偶数的猜想。奇数的猜想指出：任何一个大于7的奇数都是三个奇素数的和。奇数＝奇质数＋奇质数＋奇质数偶数的猜想是说：大于4的偶数一定是两个奇素数的和。”偶数＝奇质数＋奇质数二百多年来，尽管许许多多的数学家为解决这个猜想付出了艰辛的动，迄今为止它仍然是一个既没有得到正面证明也没有被推翻的命题。研究进展情况哥德巴赫猜想例１、已知数列｛an｝的第一项a1=1，且an+1=an/(1+an)，试归纳这个数列的通项公式。合情推理之二---类比推理类比推理实例合情推理合情推理之实例合情推理之实例合情推理总结2.1合情推理与演绎推理2.1.2演绎推理2.演绎推理的正确性是不可置疑的,数学证明过程中常用到演绎推理.分析出上面这几个实例的大小前提及结论数学证明主要是通过演绎推理进行的.例:如图,在锐角三角形中,AD垂直于BC,BE垂直于AC,D,E是垂足.求证AB的中点M到D,E的距离相等.三段论的直观表示：１．符号表示：大前提:Ｍ是P小前提：S是Ｍ结论：Ｓ是P２．集合表示：集合Ｍ的所有元素都具有性质S，Ｓ是Ｍ的一个子集，那么Ｓ中的所有元素也都具有性质Ｐ三段论应用：１．在应用三段论解决问题时，首先要明确什么是大前提小前提，但为了简洁，如果大前提是明显的，则可以省略；２．在演绎推理中，只要大小前提正确，推理形式正确，结论必定正确．所以演绎推理常用在数学证明中．３．用演绎推理构建学科体系（可参阅教材Ｐ８０）2.２直接证明与间接证明１．证明的必要性合情推理所得结论的正确性是需要证明的，这正是数学区别其他学科的显著特点．数学结论的正确性必须通过推理的方式加以证明．2.2直接证明与间接证明１．在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所经的结论。如：已知a,b＞0，求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc例1.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数,a,b,c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.2.分析法证明数学命题时,还经常从要证的结论Q出发,反推回去,寻求保证Q成立的条件,即使Q成立的充分条件P1.为了证明P1成立,再去寻求P1成立的充分条件P2;为了证明P2成立,再去寻求P2成立的充分条件P3;为了证明P3成立,再去寻求P3成立的充分条件P4;……直到找到一个明显成立的条件为止。求证：√３＋√７<２√５证明过程参阅教材P８７，注意学习分析法证明数学问题的步过程与步骤。１、我们学习了直接证明的哪两种方法？１、反证法定义：一般地，假设原命题不成立，（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。