3.4导数的应用3—利用导数研究函数的最值考纲要求会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1.函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是()A．－2B．0C．2D．4答案：C解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，f(0)＝2，f(2)＝－2，f(－1)＝－2，f(1)＝0，∴f(x)的最大值为2.B3．[2012·大纲全国高考]已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝()A.－2或2B.－9或3C.－1或1D.－3或1答案：A解析：y′＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．当y′>0时，x<－1或x>1；当y′<0时，－1<x<1.∴函数的递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，递减区间为(－1,1)．∴x＝－1时，取得极大值；x＝1时，取得极小值．要使函数图象与x轴恰有两个公共点，只需：f(－1)＝0或f(1)＝0，即(－1)3－3×(－1)＋c＝0或13－3×1＋c＝0，∴c＝－2或c＝2.答案：B大家学习辛苦了，还是要坚持答案：D1.函数的最值(1)如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有________和________．(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的________；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中________的一个是最大值，______的一个是最小值．3个必记区别1.可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是对函数在整个区间上的函数值的比较．2.从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的，而极值不一定唯一．3.函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函数值进行比较，或者考查函数在区间内的单调性.例1[2012·北京高考]已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围．[审题视点](1)曲线在某点处的斜率就是该点处的导数，构建方程组求a，b的值；(2)本题中函数的极大值同时也是最大值，由此来确定字母k的取值范围．[解](1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)，即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b，解得a＝3，b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)，当a＝3，b＝－9时，h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.h(x)与h′(x)在(－∞，2]上的变化情况如下：由此可知：当k≤－3时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(－3)＝28；当－3<k<2时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28.因此，k的取值范围是(－∞，－3]．函数的最大(小)值是在函数极大(小)值基础上的发展．从函数图象上可以直观地看出：如果在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，只要把函数y＝f(x)的所有极值连同端点处的函数值进行比较，就可以求出函数的最大(小)值．[审题视点](1)先对f(x)求导，解不等式f′(x)>0和f′(x)<0即可求出单调区间，(2)零点的分布主要结合图象，得到符合题意的数学关系式，确定参数的取值．[解](1)f′(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)．由f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝a>0.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如下表：(1)对于该问题的求解，一般利用研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象的交点情况，建立含参数的方程组(或不等式)求之，实现形与数的和谐统一．(2)本题常见的错误是不能把函数的极值与图象交点联系起来，缺乏转化与化归、数形结合的意识．考点3：与最值有关的不等式恒成立问题【备考·角度说】No.1角度关键词：审题视角利用导数证明不等式的关键是构造函数，函数构造出来后，用导数去研究这个函数的单调性和最值，通过单调性或最值找到不等关系，实现不等式证明．No.2角度关键词：技巧点拨利用导数证明不等式，就是把不等式恒成立的问题，通过构造函数，转化为利用导数求函数最值的问题．应用这种方法的难点是如何根据不等式的结构特点或者根据题目证明目标的要求，构造出