第3讲导数研究函数极值最值[基础回顾]1．函数的极值与导数条件f′(x0)＝0x0附近的左侧f′(x)≥0，右侧f′(x)≤0x0附近的左侧f′(x)≤0，右侧f′(x)≥0图象极植f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点2.函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．[完美题型展现]题型一求函数极值例1(2020·天津和平区模拟)已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R).＝(1)当a12时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.[题型特训]1.(2017·全国Ⅱ卷)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为()A.－1B.－2e－3C.5e－3D.1题型二已知函数的极值求参数的取值例2(2020·泰安检测)已知函数f(x)＝lnx.(1)求f(x)图象的过点P(0，－1)的切线方程；(2)若函数g(x)＝f(x)－mx＋m存在两个极值点x1，x2，求m的取值范围.x[题型特训]1.若函数f(x)＝x3－a321，4x2＋x＋1在区间3上有极值点，则实数a的取值范围是()2，10A.3B.10，172，1032，17C.34D.42.(2018·北京卷)设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.①若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；②若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围.题型三求函数最值例3(2020·贵阳检测)已知函数f(x)x－1lnx.＝－x(1)求f(x)的单调区间；1，e(2)求函数f(x)在e上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数)．例4(2019·广东五校联考)已知函数f(x)＝ax＋lnx，其中a为常数.(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值.[题型特训]1．(2017·北京)已知函数f(x)＝excosx－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；0，π(2)求函数f(x)在区间2上的最大值和最小值.题型四利用导数求解最优化问题例5(2020·衡水中学质检)在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间)，每单位时间的用氧v3量为10＋1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为v(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总2用氧量为y(升).(1)求y关于v的函数关系式；(2)若c≤v≤15(c>0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少.[题型特训]1．(2017·全国Ⅰ卷)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为.[特训作业]1.函数y＝f(x)导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是()A.(－1，3)为函数y＝f(x)的递增区间B.(3，5)为函数y＝f(x)的递减区间C.函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值D.函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值2.设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则()A.a<－1B.a>－1a>－1ea<－1e3.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于()A.11或18B.11C.18D.17或184.函数f(x)＝3x2＋lnx－2x的极值点的个数是()A.0B.1C.2D.无数5.(2019·青岛二模)已知函数f(x)＝2ef′(e)lnx－x(e是自然对数的底数)，则f(x)的极大值为e()A.2e－1B.－1eC.1D.2ln26.函数f(x)＝xe－x，x∈[0，4]的最大值是.7.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1，1