南模中学2023学年第一学期高二年级数学周测2023.11一、填空题1．棱长为2的正方体的外接球的表面积为______．2．正四棱柱ABCD−ABCD的底面边长为2，高为4，O为面ADDA的对角线的交点，111111则四棱锥O−BCCB的体积为______．113．已知空间三个点P(−2,0,2),Q(−1,1,2)和R(−3,0,4)，设aPQ=,bPR，若ka+b与ka−2b互相垂直，则k=______．4．《九章算术》中称四个面均为直角三角形的四面体为鳖臑．如图，若四面体ABCD为鳖臑，且AB⊥平面BCD,AB=BC=CD，则AD与平面ABC所成角的大小为______．（结果用反三角函数值表示）（第4题）（第7题）5．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，则这个正四棱柱的表面积是______．6．已知圆锥的高与母线的夹角是30°，底面圆中圆心角为60°的弦长为4，则此圆锥的体积是______．7．如右图，正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为8，高为23，则它的体积为______．8．抛掷一枚质地均匀的骰子，将得到的点数记为a，则a,4,5能够构成钝角三角形的概率是______．9．从一个放有大小与质地相同的3个黑球、2个白球的袋子里摸出2个球并放入另外一个空袋子里，再从后一个袋子里摸出1个球，该球是黑色的概率为______．110．为了促进消费，某商场针对会员客户推出会员积分兑换商品活动。已知参加活动的甲、111乙两位客户各有1000积分，且甲兑换A,B,C三种商品的概率分别为、、；乙兑换236111A,B,C三种商品的概率分别为,、且他们兑换何种商品相互独立，则甲、乙两人兑换同263一种商品的概率为______．11．若两个相交平面α、β所成的锐二面角的大小为θ，则称平面α、β成θ角，已知平面α、β成70°角，则过空间一点V且与α、β都成55°角的平面γ的个数为______个．112．已知e、e、e是空间单位向量，e⋅e=e⋅e=e⋅e=，若空间向量a满足，1231223312a=xe+ye(x,y∈R),a=2，则a⋅e的最大值是______．123二、选择题13．掷一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是（）A．大量的试验中，出现正面的频率为0.5B．不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5C．试验次数增大，出现正面的经验概率为0.5D．以上说法均不正确14．在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=f(A)，设α、β是两个不同的π平面，对空间任意=一点P,Qf=f(P),Qff(P)，恒有PQ=PQ，则（）1βα2αβ12A．平面α与平面β垂直B．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°C．平面α与平面β平行D．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°2三、简答题15．如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠底面圆周长为C．（1）求球冠所在球的半径R（结果用h,r表示）；r（2）已知球冠表面积公式为S=2πRh，当S=65000π,C=500π时，求的值及球冠所在R球的表面积．16．如图，在三棱锥P−ABC中，PC⊥底面ABC，AC⊥BC,D是AB的中点，πAC=BC=1,∠PDC=θ0<θ<．2（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；26（2）记三棱锥P−ABC的体积为V，当V∈,时，求θ的取值范围．1212317．已知平面向量中有如下两个结论：结论1：若OA、OB是不共线的两个平面向量，OC=λOA+µOB，则A、B、C三点共线的充要条件是λ+µ=1；结论2：若OA、OB是不共线的两个平面向量，OP=λOA+µOB，若点P在与AB平行的直线上，则λ+µ=k（k为定值）．将上述两个结论推广至空间向量（无需写出推广结论）解决以下问题：已知OA、OB、OC是两两垂直的单位向量，P是空间中一点．