不定积分例：设是的原函数，是的原函数，且，求。由，两边求导例：设单调连续、可导，是它的原函数，若，求例：设由方程确定的隐函数，求注：将用表示，用表示，难！令，代入原式原式=注：这种求隐函数的不定积分，一般都是通过变量变换将用同一参数表示出来，然后求解例：设由方程确定的隐函数，求令例：令，分段函数的不定积分例：，求。当当，则是连续函数，例：已知，在上，，求。由，于是。定积分求极限例：两边积分，右边=，由夹逼定理可知：例：.不能用L’Hospital法则，求导后极限不存在。当而又左边=则，由两边夹法则可得，原式例：估计的符号因为而，故，由积分中值定理原式类似地，例：证明令，进行换元积分，有对第二个积分用换元积分，则有原式=由于在上，被积函数是一个正函数，从而可得结论。例：设在上连续，求分析：积分不易，用积分中值定理。设，在上连续，且不变号，则存在，使得，在相应的区间；；原式。例：设在上连续，且单调非负，又，证设单调增加，由非负，，类似可得，由两边夹法则，，其中右边用级数收敛判别法。例：注意：善于利用被积函数的奇偶性和积分区间的对称性例：例：对称区间上的积分，作负变换，通常有效。例：上述做法的基本思想是：例：，令原式（奇函数）例：例：求值，使得，其中.由于，令得。含有参数的定积分：例：，其中为实数例：；，总之：例：设，求由设，又因于是求定积分得例：设,求。法1、，令，则，法2、令，则由于，则。例：，求。令，原式例：例：设，且，求法1，先求出，然后积分。法2、而，代入上式得，令，得应用分部积分法得：例：，令以上结果是错误的，因为是瑕点。，原函数，原积分发散。注：对于积分，由于，其中原积分可化为，后一积分的分子是分母的导数。例：已知，求当，当当当例：例：已知，求所以，例：设为常数，且，，求，使得右式分部积分，，若，发散。所以，必有，此时，由，所以，，则例：设，证：1、，2、1、2、，同时加上，有由1、可知上式左边，而右边，即得。例：求所以，，于是，例：设，，证：用归纳法。，交换积分次序设成立，交换积分次序例：设，求的最值。当当从而，，为极小值。由在内只有唯一极小值，则必为最小值。当在严格增加，又，所以，无最大值。例：设为任意实数,证明:.证明:先证:令,得于是所以所以同理