湖南省衡阳县六中2014届高三第一次月考数学理试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，为虚数单位，且则（）A．，B.C.D.2.已知映射,其中，对应法则，若对实数，在集合A中不存在元素使得，则k的取值范围是（）A．B．C．D．3.设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.4.下列命题中正确命题的个数是（）（1）是的充分必要条件；（2）若且，则；（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变；（4）设随机变量服从正态分布N(0,1),若，则A．4B．3C．2D．15.设双曲线的渐近线方程为，则的值为（）A.4B.3C.2D.16.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（）A.B.1C.D.7.设m＞1，在约束条件下目标函数的最大值小于2，则m取值范围为（）A.（1，）B.（，）C.（1,3）D.（3，）8.设直线x=t与函数和函数的图像分别交于点M,N,则当达到最小时t的值为（）A.1B.C.D.二：填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应号后的横线上。（一）选做题（请考生在9、10、11三题中任选一题作答，如果全做，则按前两题记分）9.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴中，曲线C2的方程为，则C1与C2的交点个数为。10.设,则的最小值为。11.如图2，A,E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC,垂足为D,BE与AD相交与点F，则AF的长为。（二）必做题（11～16题）12.设是等差数列，的前项和，且，则=。13.若执行如图3所示的框图，输入，,则输出的数于。14.在边长为1的正三角形ABC中,设则=_______。___________.15.如图4，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形。将一颗豆子随机地扔到该院内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴C影部分）内”，则（1）P(A)=_____________；(2)P(B|A)=。16.对于,将n表示,当时，,当时,为0或1.记为上述表示中ai为0的个数（例如：）,故,),则（1）________________；(2)________________。三、解答题：本大题共6小题，东75分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。17.（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）若，求的最大值；（Ⅱ）在中，若，，求的值．18.（本小题满分12分）为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示．（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35)岁的人数；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．分组（单位：岁）频数频率[20，25)50.05[25，30)①0.20[30，35)35②[35，40)300.30[40，45]100.10合计1001.0019.（本小题满分12分）已知正方形的边长为2，ABCDO．将正方形沿对角线折起，，得到三棱锥，如图所示．（1）当时，求证：；（2）当二面角的大小为时，求二面角的正切值．20.（本小题满分13分）如图6，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为。E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时。（Ⅰ）写出y的表达式；（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少。21.(本小题满分13分）如图所示，点在圆：上，轴，点在射线上，且满足.（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程，并根据取值说明轨迹的形状.（2）设轨迹与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，直线与轨迹交于点、，点在直线上，满足，求实数的值。22.（本小题满分13分）已知函数()=，