如图2-1所示，某骑士前往1km外的城堡同住在那里的公主会面，但他却被恶魔施了魔法。无论骑士再怎么努力，他每次向城堡前进的距离总为他所处位置到城堡的距离的一半。那么，骑士最终能否到达公主那里呢？km1km21km41km81km161这个骑士，最初只行进了1km的一半0.5km，接着有行进了剩下的一半0.25km，再接着是0.125km……也许有人认为”到城堡的距离在不断地减少，行进几十回的话总能到达城堡“，是这样吗？即使到达城堡的距离最终”剩下1cm“，接下来可以前进的距离也只是0.5cm，再接下来是0.25cm，……总是会剩下一半的距离。啊，那么难道永远不能到达城堡？到城堡的”剩下的距离”如下所示:第一次前进后所剩的距离=0.5km==km21km121??????第二次前进后所剩的距离=0.25km==km41km221??????第三次前进后所剩的距离=0.125km==km81km321??????第n次前进后所剩的距离=kmn??????21…………………………………………………………如图2-2所示，往一杯威士忌里掺水。倒去一半后，用水补满。如此反复操作后，杯中剩下的是否只有水了？无数次重复这个操作，杯中的威士忌将全部被水取代……骑士的例子也是同理呀。倒去一半用水补满用水补满倒去一半前进n次后所剩下的距离无限趋近于0。用无穷大记号可以表示为：无限趋近于0，与上文相同，可表示为：或者使用表示极限的记号,可表示为lim∞∞→nn??????21021→??????n1lim02nn????=????kmn??????210%为了加深对极限的理解，让我们来做一道题。思考0.999999……这样的小数点之后第一位起“9”依次不断重复出现的小数。这时，0.999999……=1是正确还是错误？上式的右边为1，左边是0.999999……。这样一个并不能完全等同于1的，小数点之后第一位起“9”依次不断重复出现的小数，于是可能有人会认为“上面的等式是错误的”。那么，试着从1减去0.999999……，1-0.999999……=0.000000……这样得到的差是小数后第一位起“0”依次不断重复出现的小数。于是这个差就成了0，而结论就是上面的等式是正确的……但是你不觉得哪儿不对吗？！实际上，在这个问题里也存在着“极限值0”(无限趋近于0)。不只是0.999999…，让我们想象一下0.9，0.99，0.999…这样小数点之后1个，2个，3个，……，n个9并列的情况，他们分别和1的差是怎样的呢？可以看到这些差以0.1，0.01，0.001，……这样的顺序依次变小。这个小数点之后n个9并列的数和1的差如下图的阴影部分所示。110.999990.0000110n???==????LL那么这个差究竟会是多少呢？小数点之后第一位起“9”依次不断重复出现在这个式子中表现为n无限增大，也就是考虑这个问题：当时，这个差会是多少？n??110.99999lim010nx?????==????L因为与1的差为0，便可知道1=0.999999……0.999999……=1因10.1111119=L10.999999=L两边各乘以9，得0.999999x=L令两边分别扩大10倍109.999999x=L两边分别相减109.999999x=L0.999999x?=L99x=由此，得即1x=10.999999=L在前一节中，小数点以后第一位起“9”依次不断重复出现。这样的小数称为循环小数，可以表示为如下：910以上各项，是在上依次乘于231111,,,,101010????????????L所得到的。99990.99999910100100010000=++++LL239919191101010