一、上(下)极限的基本概念定理7.4有界数列至少存在一个聚点,并且有最大又设存在这样就得到了{xn}的一个子列满足:注由定理7.4得知,有界数列必有上、下极限.例1考察以下两个数列的上、下极限:二、上(下)极限的基本性质证一的假设相矛盾.定理7.7必要性的最大下标为N,那么当n>N时,定理7.8(保不等式性)证同理可证关于上极限的不等式;而(4)式则可由证这里只证明(i),(ii)可同理证明.设再由定理7.8的(4)式,得例2之内.又因所以存在的聚点矛盾.故证得,即从而递减数列,并且有界,这样得到的子列因仍为有界的,故其上极限例3用上、下极限证明:若为有界发散数列,例4证明:对任何有界数列有把它用于(12)式,并利用例1的结论(6),便有复习思考题