第二节用数学归纳法证明不等式【核心扫描】1．利用数学归纳法证明不等式是本节考查的重点．2．本节常与不等式的性质、放缩法等综合考查.1．贝努利不等式：设x>－1，且x≠0，n为大于1的自然数，则.2．贝努利不等式的更一般形式：当α为实数，并且满足α＞1或者α＜0时，有(1＋x)α≥1＋αx(x＞－1)；当α为实数，并且满足0＜α＜1时，有(1＋x)α≤1＋αx(x＞－1)．1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)第一步应验证()．A．n＝1B．n＝2C．n＝3D．n＝4解析由题意知n≥3，∴应验证n＝3.故选C.答案C2．对于正整数n，下列说法不正确的是()．A．32≥1＋2nB．0.9n≥1－0.1nC．0.9n＜1－0.1nD．0.1n≥1－0.9n解析分母是底数为2的幂，且幂指数是连续自然增加，故选A.答案A题型一用数学归纳法证明绝对值不等式证明(1)∵|x1＋x2|≤|x1|＋|x2|，∴n＝2时命题成立．(2)设命题n＝k(k≥2)时成立，即|x1＋x2＋…＋xk|≤|x1|＋|x2|＋…＋|xk|，于是，当n＝k＋1时，|x1＋x2＋…＋xk＋1|＝|(x1＋x2＋…＋xk)＋xk＋1|≤|x1＋x2＋…＋xk|＋|xk＋1|≤|x1|＋|x2|＋…＋|xk|＋|xk＋1|.即当n＝k＋1时，命题也成立．由(1)(2)知，对于任意n∈N*命题都成立．规律方法使用数学归纳法要完成两步．第一步要验证“基础”；第二步要证明“递推”，二者缺一不可．关键在于使用归纳假设进行递推，这也是数学归纳法的灵活和魅力所在，要根据不同问题加强练习，逐步掌握．【变式1】证明不等式|sinnθ|≤n|sinθ|(n∈N＋)．题型二用数学归纳法证明不等式[思维启迪]由条件第一问可通过数列的有关知识来证明进而求出an通项公式，然后求bn的通项公式，最后用数学归纳法证明要证的结论即可．解(1)由an＋1＝an＋2n＋1得(an＋1－2n＋1)－(an－2n)＝1，因此{an－2n}成等差数列．(2)an－2n＝(a1－2)＋(n－1)＝n－1，即an＝2n＋n－1，bn＝2log2(an＋1－n)＝2n.规律方法同用数学归纳法证明等式一样，这类题型也通常与数列的递推公式或通项公式有关，待证的不等式的条件可能直接给出，也可能需根据条件归纳猜想出后再证明．题型三数学归纳法与数列的综合问题[思维启迪]由题意可得如下信息：an，bn，an＋1成等差数对任意n都成立．n＝1、2时也成立即可解得第一问，并归纳出通项公式，然后用数学归纳法证明之．第二问列出式子发现用裂相法与放缩法即可证明．比用数字归纳法简便．规律方法这类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关，有时要证明的等式是直接给出，有时是根据条件从前n项入手，通过观察、猜想，归纳出一个等式，然后再用数学归纳法证明．方法技巧数学归纳法在不等式中的应用[思路分析](1)问关键利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)解决；(2)问先求出bn的通项，再结合数学归纳法证明．方法点评本题考查数列的基本问题、等比数列的基础知识；考查数学归纳法证明不等式；考查分析问题、解决问题的能力.