课时分层作业(十三)用数学归纳法证明不等式举例(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立．那么下列命题总成立的是()A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)＜49成立，则当k≥8时，均有f(k)＜k2成立D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立D[根据题中条件可知：由f(k)≥k2，必能推得f(k＋1)≥(k＋1)2，但反之不成立，因为D中f(4)＝25＞42，故可推得k≥4时，f(k)≥k2，故只有D正确．]2．用数学归纳法证明“对于任意x＞0和正整数n，都有xn＋xn－2＋xn－4＋…＋eq\f(1,xn－4)＋eq\f(1,xn－2)＋eq\f(1,xn)≥n＋1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n0应为()A．n0＝1B．n0＝2C．n0＝1,2D．以上答案均不正确A[需验证：n0＝1时，x＋eq\f(1,x)≥1＋1成立．]3．利用数学归纳法证明不等式1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<f(n)(n≥2，n∈N＋)的过程，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了()A．1项B．k项C．2k－1项D．2k项D[1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k＋1－1)－1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k－1)＝eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)＋…＋eq\f(1,2k＋1－1)，∴共增加2k项．]4．若不等式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)>eq\f(m,24)对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为()A．12B．13C．14D．不存在B[令f(n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)，易知f(n)是单调递增的，∴f(n)的最小值为f(2)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＝eq\f(7,12).依题意eq\f(7,12)>eq\f(m,24)，∴m<14.因此取m＝13.]5．用数学归纳法证明不等式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)＜eq\f(13,14)(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边()A．增加了一项eq\f(1,2k＋1)B．增加了两项eq\f(1,2k＋1)，eq\f(1,2k＋2)C．增加了B中两项但减少了一项eq\f(1,k＋1)D．以上各种情况均不对C[∵n＝k时，左边＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,2k)，n＝k＋1时，左边＝eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)，∴增加了两项eq\f(1,2k＋1)，eq\f(1,2k＋2)，少了一项eq\f(1,k＋1).]二、填空题6．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”时，第一步的验证为________．[解析]当n＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立．[答案]21＋1≥12＋1＋27．证明eq\f(n＋2,n)＜1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n)＜n＋1(n＞1)，当n＝2时，要证明的式子为________．[解析]当n＝2时，要证明的式子为2＜1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＜3.[答案]2＜1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＜38．在△ABC中，不等式eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)≥eq\f(9,π)成立；在四边形ABCD中，不等式eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)＋eq\f(1,D)≥eq\f(16,2π)成立；在五边形ABCDE中，不等式