第二讲层次分析模型主讲：董庆来层次分析法（AHP）是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂(T.L.Saaty)于上世纪70年代初，为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。这种方法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。是对难于完全定量的复杂系统作出决策的模型和方法。决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。日常生活中有许多决策问题。举例1.在海尔、新飞、容声和雪花四个牌号的电冰箱中选购一种。要考虑品牌的信誉、冰箱的功能、价格和耗电量。2.在泰山、杭州和承德三处选择一个旅游点。要考虑景点的景色、居住的环境、饮食的特色、交通便利和旅游的费用。3.在基础研究、应用研究和数学教育中选择一个领域申报科研课题。要考虑成果的贡献（实用价值、科学意义），可行性（难度、周期和经费）和人才培养。层次分析法（AnalyticHierarchyProcess,AHP)这是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法两种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者以随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。近年发展的系统分析是又一种方法，而层次分析法是系统分析的数学工具之一。二、层次分析法的基本原理层次分析法的基本思路：三、层次分析法的步骤和方法1.建立层次结构模型例大学毕业生就业选择问题获得大学毕业学位的毕业生，在“双向选择”时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如：①能发挥自己才干作出较好贡献（即工作岗位适合发挥自己的专长）；②工作收入较好（待遇好）；③生活环境好（大城市、气候等工作条件等）；④单位名声好（声誉等）；⑤工作环境好（人际关系和谐等）⑥发展晋升机会多（如新单位或前景好）等。工作选择目标层例科研课题的选择某研究所现有三个科研课题，限于人力及物力，只能研究一个课题。有三个须考虑的因素：(1)科研成果贡献大小(包括实用价值和科学意义)；(2)人材的培养；(3)课题的可行性(包括课题的难易程度、研究周期及资金)。在这些因素的影响下，如何选择课题?2.构造判断(成对比较)矩阵2468设要比较各准则C1,C2,…,Cn对目标O的重要性3.层次单排序及一致性检验特征值满足的条件：A的特征多项式记为特征值和特征向量的计算方法定理2对于正矩阵A(A的所有元素为正)，1）A的最大特征值是正单根；步骤：理由：AW=nW一致性检验A的秩为1，A的唯一非零特征根为n一致性检验对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，Saaty等人建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w，即为了避免误差太大，所以要衡量矩阵的一致性，当矩阵完全一致时，因aii=1由于λ连续的依赖于aij，则λ比n大的越多，A的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用λ-n数值的大小来衡量A的不一致程度。RI一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1及随机一致性指标的数值表，对进行检验的过程。“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验4.层次总排序及其一致性检验即B层第i个因素对总目标的权值为：层次总排序的一致性检验记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为第3层对第2层的计算结果第1层O层次分析法的基本步骤层次分析法建模举例——旅游问题（2）构造成对比较矩阵(3)计算层次单排序的权向量和一致性检验对成对比较矩阵可以求层次总排序的权向量并进行一致性检验，结果如下：对总目标的权值为：可作为最后的决策依据。二.层次分析法的广泛应用国家综合实力过河的效益A过河的代价A待评价的科技成果三.层次分析法的若干问题1.正互反阵的最大特征根和特征向量的性质定理2n阶正互反阵A的最大特征根≥n,=n是A为一致阵的充要条件。2.正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算1）幂法步骤如下d)对于预先给定的精度，当下式成立时2）和法步骤如下3）根法列向量归一化3.特征向量作为权向量——成对比较的多步累积效应按不同准则确定的权向量不同，特征向量有什么优点。4.不完全层次结构中组合权向量的计算不考虑支配元素数目不等的影响5.残缺成对比较阵的处理6.更复杂的层次结构层次分析法的优点