(考试时间：80分钟满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1．函数的最大值是_______2．青蛙在正六边形ABCDEF上AD方式有____________种.3．设,则的最大值为___________4．设数列的前项和满足：，，则通项=______5．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)与直线交于M,N两点,且(为原点),当椭圆的离心率e∈[EQ\F(EQ\R(,3),3),EQ\F(EQ\R(,2),2)]时,椭圆长轴长的取值范围是__________6．对于每个大于等于2的整数，令表示在区间上不同解的个数，表示在区间上不同解的个数，则=____________7．在平面直角坐标系中，定义点P(x1,y1),Q(x2,y2)之间的“直角距离”为d(P,Q)=|x1－x2|＋|y1－y2|若C(x,y)到点A(1,3),B(6,9)的“直角距离”相等，其中实数x,y满足0≤x≤10,0≤y≤10，则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和为_________8．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．已知是实数,二次函数满足，求证：－1与1中至少有一个是的根.10．设，数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）证明：对于一切正整数，．11．已知椭圆，过定点两条互相垂直的动直线分别椭交圆于两点。分别为左右焦点，为坐标原点。（1）求向量的最小值；（2）当向量与互相垂直时，求两点所在直线的斜率。2012年全国高中数学联赛模拟卷(3)加试(考试时间：150分钟满分：180分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、（本题满分40分）如图，C为半圆弧的中点，点为直径BA延长线上一点，过作半圆的切线，为切点，的平分线分别交于点．求证：以为直径的圆过半圆的圆心Ｏ．二、（本题满分40分）已知m，n为正整数.(1)用数学归纳法证明：当x＞－1时，(1＋x)m≥1＋mx；(2)对于n≥6，已知，求证：(m=1,2,3,…,n)；(3)求出满足等式3n＋4n＋…＋(n＋2)n＝(n＋3)n的所有正整数n.三、（本题满分50分）（1）证明：存在无穷多个正整数n，使与同时为合数.（2）试判断是否存在正整数p和q，使得对于任意n≥2007，总有与之一为素数？并证明你的结论。四、（本题满分50分）现有一根由颗珠子串成的项链（环行线串成）。每颗珠子上都标着一个整数，且它们的和为，求证：我们可以把这串项链绳从某处截断，使它成为一根线段上串着n颗珠子的珠串，它们的相继标号顺次为，且对一切恒有成立。2012年全国高中数学联赛模拟卷(3)答案1、函数的定义域为[1,5]，且y＞0,当且仅当，等号成立，即x＝eq\f(127,27)时函数取最大值6eq\r(3)2、跳5步共有32种，其中包含3步跳到D的两种情形，应减去8种，所以满足条件的5步跳有24种。在加上2种3步跳，共26种。3、,当时,4.，即2=，由此得2．令，()，有，故，所以．5.由,可得①由得,即,将,代入得,即,因为,得,得,有,解得.6、由得：，即或，又，则或；但两组取值可能重复。若，讨论得：时重复一组。同理对于，或，或，时重复一组。比较两种解的取值知，为公共部分，为奇数时，比多一组解，但当时重复一组。只当时重复一组。实质只有当时，比多1个解，其余情况解相同。所以=。7.由条件得--------①当y≥9时，①化为，无解；当y≤3时，①化为，无解；当3≤y≤9时，①化为-------②若x≤1，则y＝，线段长度为１；若1≤x≤6，则x＋y＝，线段长度为5eq\r(2)；若x≥6，则y＝3.5，线段长度为４．综上可知，点C的轨迹的构成的线段长度之和为1＋5eq\r(2)＋4＝5(eq\r(2)＋1)答图18.如答图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面//平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，，垂足为的中心．因，故，从而．记此时小球与面的切点为，连接，则．考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，答图2易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如答图2．记正四面体的棱长为，过作于