一～一一．。■r．．一一～lI__，一*⋯■；‘■■■■■■h■■■蠹a■■■■■IL灭胁J2007年第12期(高中)、陕西省数学竞赛委员会刘康宁陕西省西安市铁一中陈孝庚一、(本题满分50分)如图1，在锐角AABC中，段DC上，且BD—BD．AB％AC，AD是边BC上的高，P是线段AD内一连结AB、PB，由对称性，有ABP一ABP．点．过P作PE上AC，垂足为E，作PF上AB，垂足为从而ABP一ACP，所以A、P、B、C四点F．O1、02分别是／XBDF、△CDE的外心．求证：O1、共圆．02、E、F四点共圆的充要条件为P是／XABC的由此可知，PBB一PAC=9O。一ACB．垂心．。．．PBC一PBB，’基本证法：如图1，连结．．PBC+ACIBBP、CP、0102、02E、EF、F01．一(90。一ACB)+ACB一9O。．’’：PDLBC，PFLAB，．．BP上AC．从而B、P、E三点共线．．．．B、D、P、F四点共圆，且又点P在边BC的高AD上，所以P是／XABCBP为该圆的直径．BDB·C的垂心．又。．‘01是／XBDF的外心，图1综上所述，O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为．．-ol在BP上，且01是BP的中点．P是△ABC的垂心．同理可证，C、D、P、E四点共圆，且O2是该圆直本题中充分性的证明较容易，下面再给出必要性径CP的中点．的两种证法．从而0102／／BC．于是P020一PCB．别证1：若01、O2、E、F四点共圆，则01O2E‘．’AF·AB—AP·AD—AE·AC．+EFD1—180。．‘’．．B、C、E、F四点共圆．．‘O1、02分别是BP、CP的中点，且B、C、E、F充分性：若P是／XABC的垂心，由于PE上AC，四点共圆，’PF上AB，所以B、0、P、E四点共线，C、0、P、F四．．01O2E一P0201+P02E一PCB点共线．+2ACP一ACB+ACP，从而F0201一FCB一FEB一FEO．EF01—180。一AFE一O1FB一180。故01、02、E、F四点共圆．一ACB一ABP．‘必要性：若0、02、E、F四点共圆，则．．(ACB+ACP)+(180。一ACB010E+EFO1—180。．一ABP)一180。，注意到P02O1一PCB-=ACB一ACP，又即ABP一ACP．’因为02是Rt／XCEP斜边CP的中点，也就是／XCEP．’PO1F一2ABP，P02E2ACP，’的外心，所以P02E一2ACP．．．PO1F一P02E．．．’O1是Rt／XBFP斜边BP的中点，也就是又△O1PF和△PE均为等腰三角形，△BFP的外心，·．．．-．PF0l一9O。一BFO1—9O。一ABP．／XO~PFc-,o／X02PE．筹一篇．’B、C、E、F四点共圆，如图2，连结O1E、O2F，由．．．AFE=ACB，PFE一9O。一ACB．O1、O2、E、F四点共圆，有于是，由O1O2E+EFO1—180。，得E01F一E02F，01EO2(ACB一ACP)+2ACP+(90。一ABP)一01F02．从而PO1E+(90。～ACB)一180。，一PO2F，PEO1=PFO2．BDC即ABP=ACP．于是，△PO1E∽／XP02F，图2又AB<AC，AD上BC，．．．BD<CD．或O1、P、E且0、P、F分别三点共线．设B是点B关于直线AD的对称点，则B在线若O1、P、E且0、P、F分别三点共线，则BE上AC，CF上AB，故P是△ABC的垂心．点，且使得ACP=BCQ，BAQ=CAP．证明：~AP01E(△Po2F，～8l01'P一而PEDEF一90。的充分必要条件为Q是△BDF的垂心．．，P二、(本题满分50分)如图又一，所以,丽PE一=5，在7×8的长方形棋盘的每个面PFPEPF．而，、小方格的中心点各放一个棋子．由P、E、A、F四点共圆，有PAB：；：PAC，这与如果两个棋子所在的小方格共AB<AC矛盾．边或共顶点，那么称这两个棋子故当o1、02、E、F四点共圆时，P为△ABC的相连．现从这56个棋子中取出垂心．一些，使得棋盘上剩下的棋子，别证2：若o1、02、E、F四点共圆，由别证1，得没有五个在一条直线(横、竖、斜方向)上依次相连．问ABP一ACP．最少取出多少个棋子才可能满足要求?并说明理由．‘．．‘PF上AB，PE上AC，基本解法：最少要取出11个棋子，才可能满足要．．．△BFP∽△CEP，求，其原因如下：PBPF．如果一个方格在第i行第列，则记这个方格为”PCPE’(，)．如