陕西省数学竞赛委员会刘康宁西北工业大学附中焦和平一、选择题(本题满分36分，每小题6分),1．在正四棱锥P-ABCD中，APC=60。，则二面角A-PB-C的平面角的余弦值为()．一嗣I-Sx+3a(x<),A．B．一号c．丢D．一丢基本解法：如图1，过点AP·作AM上PB，垂足为点M，由对··[)]tIliIl一厂(警)一号．称性知，AMC为二面角CA—PB—C的平面角．由口≤号，得o≤口≤号．不妨设AB一2，则由图lAPB一60。，得PA—ACf一5z(z≤一245．容易求得MA—MC√专．：f=AAMC中，由当口<。时，)一一口(警<z≤号触栅～一l口(号)··番77一枷··[)]tIliIl一厂(警)一一号．巧思妙解：设AC与BD的交点为0，易知平面由口≤一号，得一号≤口<o．PAB在平面PBD上的射影为△POB．不妨设AB综上所述，一÷≤口≤号，故选A．一2，贝0S△髓一~／，S△脚一√巧思妙解1：令z—at(t~R)，则原不等式为l口l设二面角A-PB-C的平面角为，则二面角·J2t-1J+J口J·J3t一2J≥口，即J口J≤J2t一1JA-PB一0的平面角为导．+l3t-2l对任意的tER恒成立．因为cos导一一，所以cos一2f_s件3(≤专)，×(√号)一1一一了1，故选B．因为l2一1l+l3一2l一{一+(丢<≤号)，2．设实数口使得不等式l2x一口l+l3x一2al3(>詈)．≥口对任意实数X恒成立，则满足条件的口所组成的所以(12￡一11+13￡一21)i一了1集合是()．．A·[一号，号]B．[一丢，丢]由l口l≤丢0，得一丢0≤口≤，故选A．巧思妙解2：取z—2aC．『一1，了1]D．[_3’3]O，则有丢0l口l≥口z，得一基本解法：设厂(z)=l2x一口l+l3x一2al，则≤口≤，可排除B．D；又由对称性可排除c，故选A．200~'年第11期(青中)竞赛之路3．将号码分别为1，2，⋯，9的九个小球放人一定圆都相切，则oP的圆心轨迹(图2)不可能个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋是()．中摸出一个球淇号码为口，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b．则使不等式a一2b+10>0成)o()I‘(◎A．B．C．D．立的事件发生的概率等于()．图2A．851zB．8591c．86o1D．186_基本解法：设o01和o02的半径分别为n、r2，1l0102l一2，则一般地，oP的圆心轨迹是焦点为0、基本解法：因为是有放回的摸球，所以甲、乙各有9种不同的取法，故基本事件总数为9一81．02，离心率分别为和T=的圆锥曲线(当r由a-2b+10>O，得a+10>2b．一r2时，线段01D2的垂直平分线是轨迹的一部分；当6—1，2，⋯，5时，a可取1，2，⋯，9中的每一当f一0时，轨迹是两个同心圆)．个，则共有5×9—45种；当r一r2且r+r<2f时，圆心P的轨迹如选当6—6时，a可取3，4，⋯，9中的每一个，则共有项B；当0<2f<lr～r2l时，圆心P的轨迹如选项C；7种；当r≠r2且r+r<2f时，圆心P的轨迹如选项D．当6—7时，a可取5，6，⋯，9中的每一个，则共有故选A．5种；巧思妙解：由于动圆P与两个定圆都相切，通过当6=8时，a可取7，8，9，有3种；当6=9时，a只能取9，有1种．计算圆心距知，若oP的圆心轨迹是两个圆锥曲线，它们应具有相同的焦点01、02，而选项A中的椭圆和故所求概率一箜±一器，故选D．双曲线焦点不重合，因而它不可能是oP的圆心轨4．设函数，(z)一3sinz+2cosz+1，若实数a，迹，故选A．6，C使得af(z)+bf(x—f)一1对任意实数z恒成6．已知A与B是集合{1，2，3，⋯，100)的两个子立，则丝箜的值等于()．集，满足：A与B的元素个数相同，且AnB为空集．若，2∈A时，总有2，2+2∈B，则集合AUB的元素个A．一÷B．÷C．一1D．1数最多为()．基本解法：由af(x)+一f)一1，得A．62B．66C．68D．74a(3sinz+2cosz+1)+b[3sin(z—f)+2cos(x基本解法：先证lAUBl≤66，由于AnB=j2『，所—f)+1]一1，以只需证lAl≤33．为此，只需证：若A是{t，2，⋯，即(3口+2bsinC+3bcosc)sin+(2a一3bsinc49)的任一个34元子集，则必存在，2∈A，使得2，2+2+2bcosf)COS+a+6一1．∈A．将集合{1，2，⋯，49)划分为如下33个子集：f3a+2bsinf