2004年全国高中数学联赛试题及详细解析一．选择题(本题满分36分，每小题6分)1．设锐角使关于x的方程x2+4xcos+cos=0有重根，则的弧度数为()A．eq\f(,6)B．eq\f(,12)或eq\f(5,12)C．eq\f(,6)或eq\f(5,12)D．eq\f(,12)2．已知M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N，则b的取值范围是()A．[－eq\f(eq\r(6),2)，eq\f(eq\r(6),2)]B．(－eq\f(eq\r(6),2)，eq\f(eq\r(6),2))C．(－eq\f(2eq\r(3),3)，eq\f(2eq\r(3),3)]D．[－eq\f(2eq\r(3),3)，eq\f(2eq\r(3),3)]3．不等式eq\r(log2x－1)+eq\f(1,2)logeq\s\do5(eq\f(1,2))x3+2>0的解集为A．[2，3)B．(2，3]C．[2，4)D．(2，4]4．设点O在ABC的内部，且有eq\o(\s\up6(→),OA)+2eq\o(\s\up6(→),OB)+3eq\o(\s\up6(→),OC)=eq\o(\s\up6(→),0)，则ABC的面积与AOC的面积的比为()A．2B．eq\f(3,2)C．3D．eq\f(5,3)8．设函数f：R→R，满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，则f(x)=；9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1—A1的度数是；10．设p是给定的奇质数，正整数k使得eq\r(k2－pk)也是一个正整数，则k=；11．已知数列a0，a1，a2，…，an，…满足关系式(3－an+1)(6+an)=18，且a0=3，则eq\a(n,∑,i=0)eq\f(1,ai)的值是；12．在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(－1，2)和N(1，4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为；二试题一．(本题满分50分)在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长．二．(本题满分50分)在平面直角坐标系XOY中，y轴正半轴上的点列{An}与曲线y=eq\r(2x)(x≥0)上的点列{Bn}满足|OAn|=|OBn|=eq\f(1,n)，直线AnBn在x轴上的截距为an，点Bn的横坐标为bn，n∈N*．⑴证明an>an+1>4，n∈N*；⑵证明有n0∈N*，使得对∀n>n0，都有eq\f(b2,b1)+eq\f(b3,b2)+…+eq\f(bn,bn－1)+eq\f(bn+1,bn)<n－2004．三．(本题满分50分)对于整数n≥4，求出最小的整数f(n)，使得对于任何正整数m，集合{m，m+1，…，m+n－1}的任一个f(n)元子集中，均至少有3个两两互素的元素．2004年全国高中数学联赛试卷第一试一．选择题(本题满分36分，每小题6分)1．设锐角使关于x的方程x2+4xcos+cot=0有重根，则的弧度数为()A．eq\f(,6)B．eq\f(,12)或eq\f(5,12)C．eq\f(,6)或eq\f(5,12)D．eq\f(,12)【答案】B【解析】由方程有重根，故eq\f(1,4)=4cos2－cot=0，∵0<<eq\f(,2)，2sin2=1，=eq\f(,12)或eq\f(5,12)．选B．3．不等式eq\r(log2x－1)+eq\f(1,2)logeq\s\do5(\f(1,2))x3+2>0的解集为A．[2，3)B．(2，3]C．[2，4)D．(2，4]【答案】C【解析】令log2x=t≥1时，eq\r(t－1)>eq\f(3,2)t－2．t∈[1，2)，x∈[2，4)，选C．4．设点O在ABC的内部，且有eq\o(\s\up6(→),OA)+2eq\o(\s\up6(→),OB)+3eq\o(\s\up6(→),OC)=eq\o(\s\up6(→),0