微分方程与动力系统（常微分方程续）1.简单的例子和定义1.简单的例子和定义初值问题：（满足初始条件）x΄=ax,x(0)=，即=0在方程x΄=ax中，a看做参数，当a变化时，方程也变化，其解随之改变。1）若a>0，当k>0时，；当k<0时，。2）若a=0，是常数。3）若a<0，定义：1）当平衡点附近的解都远离它时，称该平衡点是一个源点；2）当平衡点附近的解都趋于它时，称该平衡点是一个汇点；2.合理的物种总量模型大家应该也有点累了，稍作休息合理总量增长模型：x΄=ax(1-x/N)假设N=1，即选取单位舍得承载量为1的总量，x(t)则代表了在t时刻的总量占理想总量的比例。解微分方程x΄=ax(1-x)。t=0时x=x(0)。为了对解有一个定性认识，我们画出方程的斜率场。从=ax(1-x)的图像上认识：该图像与x轴交与x=0与x=1两点，对应于两个平衡点。当0<x<1，>0。从而在满足0<x<1的(t，x)处，斜率为正数，从而解在这个区域将增加，而在x>0或x>1时，<0，故解将减小。同样，从上看出，x=0是源点而x=1是汇点。由=a-2ax分析，由于=a>0,而=-a<0。由于>0，当x通过0时，斜率将单调增加，于是在x=0的下方取负值，而x=1的上方，斜率取正值。因而，解要远离x=0，为源点。同理，<0，使解趋于x=1，为汇点。例：x΄=g(x)=x-x³练习3.常值收割与分岔不解方程，直接利用函数fh(x)=x(1-x)-h的图像来“读出”解的定性行为：从而，在0≤h<1/4时，该微分方程有两个平衡点xl和xr,且0≤xl<xr，容易验证xl是一源点，xr是汇点。当h通过h=1/4时，另一种分岔现象发生了：当h单调增加通过1/4时，两个平衡点xl和xr重合，而当h>1/4时，平衡点消失。事实上，当h>1/4时事，对所有的x，总有fh(x)<0。数学上，这意味着在将来微分方程的解都要递减到-∞。我们用分岔图来记录这些变化。在该图中，我们用h代表横坐标，而对应于每一个h值，画出相应的相线。图中的曲线代表了每个h值所对应的平衡点。这让我们从另一个角度看到，当h通过1/4时，源点和汇点融合成一个平衡点，然后消失。在生态学上，这种分岔对应于所研究物种的灾难。当收割率为1/4或更低时，只要初始总量充分大（x(0)≥xl），总量就能保持。当h=1/4时，收割率的微小变化都将导致物种命运的大变化，例如，只要收割率h>1/4，该物种就要灭绝。必须说明的是，上面的物种总量模型虽然简单，但它预测收割率微小变化所导致的物种灾难性变化已经在现实中被多次观察到。例我们考虑微分方程族（这里a为参数）x΄=ga(x)=x²-ax=x(x-a)练习1.4周期收割与周期解分析：（2）假设满足x(0)=x0的解在t=1时的取值x(1)对于任意初值x0，都对应于满足x(0)=x0的解x(t)的一个值x(1)，这样可定义一个函数P(x0)=x(1)。将函数自身复合，得P(P(x0))=x(2)。为以x0为初值的解在t=2处的取值。同理得出时刻n的值。上述定义的函数P称为该微分方程的庞加莱映射。有了这样的函数，我们就可以从连续动力系统（微分方程）的领域转化到较易理解的离散动力系统的领域（迭代函数）。假如：P(x0)=x0，即x0为函数P的不动点。对每一整数n，都有x(n)=x0，进一步，对于满足0<t<1的任何t，也有x(t)=x(t+1)。从而x(t+n)=x(t)，这说明了满足x(0)=x0的解关于t是一个以1为周期的周期函数。这样的解称为微分方程的周期解。不幸的是，计算微分方程的庞加莱映射通常是一件不可能的事。所幸对于具有周期分割的合理方程，我们可以做到。1.5计算庞加莱映射对于x΄=ax。它的流为φ(t,x0)=x0对于合理方程（无收割的情形)，流为30于是庞加莱映射的图像是向下凹的，这个图像至多可穿过对角线y=x两次，即x至多只有两个值满足P（x）=x，从而庞加莱映射至多只有两个不动点。这些不动点对应于原微分方程的周期解，且满足对任意t，x(t+1)=x(t)，即当初值xx(t+1)=x(t)只为不动点之一时，流φ(t,x0)关于t是以1为周期的周期函数。习题4.考虑非自治微分方程（1）找出该方程满足x(0)=4的一个解，描述这个解的定性行为。（2）找出该方程满足x(0)=3的一个解，描述这个解的定性行为。（3）描述这个方程任一解在t→∞时的定性行为。5.设x0为一阶自治微分方程x΄=f(x)的平衡点（1）假设f΄(x0)=0,x0附近的解的行为如何，给出几个例子。（2）如果f΄(x0)=0,而f″(x0)≠0呢？6.考虑一阶非自治方程x΄=P(t)x，其中P(t)是以T为周期的可微函数证明：该方程的