第八章微分方程与差分方程简介我们知道，函数是研究客观事物运动规律的重要工具，找出函数关系，在实践中具有重要意义。可在许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函数关系，但我们能给出含有所求函数的导数（或微分）或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程或差分方程，我们需要从这些方程中求出所要的函数。本章主要介绍微分方程的基本概念及求解微分方程中未知函数的几种常见的解析方法；并对差分方程的有关内容做一简单介绍。8.1微分方程的基本概念一.引例例1一曲线通过（1，2），且在改曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。例2一汽车在公路上以10m/s的速度行驶，司机突然发现汽车前放20米处有一小孩在路上玩耍，司机立即刹车，已知汽车刹车后获得加速度为－4在（9）式中令v=0,得到从开始刹车到完全停住所需要的时间t=2.5秒，因此刹车后汽车行使距离为：等都是常微分方程。微分方程中出现的未知函数的导数或微分的最高阶数，称为该微分方程的阶（order），例如（1）和（12）为一阶微分方程，（5）和（11）为二阶微分方程，而（13）是n阶微分方程。如果将一个函数代入微分方程后能是该方程成为恒等式，则称这个函数为该微分方程的解（solution）.将（3）。（4）为微分方程（1）的解，而（8）和（10）则是微分方程（5）的解。如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解（generalsolution）.如（3）和（8）分别是微分方程（1）与（5）的通解。由于通解中含有任一常数，所以它还不能确切的反应某客观事物的特定规律。为此，要根据问题的实际情况，提出确定这些常数的条件，这种条件称为定解条件。确定了通解中的任意常数后所得。的解，称为微分方程的特解（particularsolution）.如（10）是微分方程（5）的满足条件（6）的特解8.2可分离变量的一阶微分方程一阶微分方程（differentialequationoffirstorder）例1求微分方程158.3一阶线性微分方程17二.一阶线性非其次微分方程由于其次方程（2）是非其次方程（1）当19上述将对应的齐次方程通解中的任意常数C替换成x的待定函数，并将其代入非齐次方程中以确定C(x)，从而求得非齐此方程的通解的方法叫做常数变易法（methodofconstant）.将（5）式改写成两项之和的形式上式右端第一项是方程（1）对应的齐次方程（2）的通解，令C=0，则得到第二项，它是非齐次方程（1）的一个特解。由此可知，一阶线性非齐次微分方程的通解等于它对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。方法二直接利用非齐次方程的通解公式（5），得2425262728(Bernoullidifferentialequation).3132338.4可降阶的高阶微分方程二阶及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程（differentialequationofhigherorder）.对于有些高阶微分方程。可通过适当的变量代换将它转化为较低阶的方程来求解。下面介绍三种常见的可降阶的微分方程的求解方法。35例2一物体由静止状态开始做直线运动，其加速度37383940414243448.5二阶常系数线性微分方程下面先来讨论这类方程的性质及通解结构。一.通解的结构定理1如果是二阶线性齐次方程47综上所述，有如下关于二阶线性齐次微分方程的知道，一结线性非齐次方程的通解等于它所对应的齐次方程的通解和它的一个特解之和。实际上，二阶及更高阶的线性非齐次方程的通解的结构也由类似的结论。51二.二阶常系数线性齐次微分方程由定理2可知，求二阶线性齐次微分方程的通解，可归结为求方程的两个线性无关的特解。二阶线性齐次方程的特点是我们把代数方程（5）叫做微分方程（2）的特征方程，特征方程的根叫做特征根。求方程（2）的通解就归结为求特征方程的根：5455565758特征方程的根6061三.二阶常系数线性非齐次微分方程由定理3可知，求二阶常系数线性非齐次微分方程的通解，可归结为求它对应的齐次方程的通解和它本身的一个特解。在解决了齐次方程的通解问题之后，这里只需讨论求非齐次方程（3）的一个特解的方法我们只介绍当方程（3）中的取两种常见形式时求的方法，这种方法的特点是不用积分就可求出来，把它叫做待定系数法。636465666768697071727374758.6微分方程应用实例许多实际问题的解决归结为寻找变量间的函数关系。但在很多情况下，函数关系不能直接找到，而只能间接的得到这些量及其导数之间的关系，从而使得微分方程在众多领域都有非常重要的应用。本节只举几个实例来说明微分方程的应用。进一步的介绍